¿Contradicción entre la ley de conservación de la energía y la ley de conservación del momento?

Ayer, mientras estudiaba una pregunta sencilla, me vino a la mente una duda bastante extraña:

Considere una bola de masa metro moviéndose con velocidad v que choca con una pared en un choque perfectamente elástico y rebota con la misma velocidad. Tomando la dirección del movimiento inicial de la pelota como positiva, el cambio en la cantidad de movimiento de la pelota es − 2 metro v y la pared está claramente en reposo.

Entonces, para obedecer la ley de conservación de la cantidad de movimiento, la pared debe ganar una cantidad de movimiento de 2 metro v .

Ahora, esto en sí me confundió mucho. Luego apliqué la ley de conservación de la energía cinética a esta situación, y claramente las magnitudes de las velocidades inicial y final de la pelota son iguales, por lo que la energía cinética de la pelota se conserva y, por lo tanto, la energía cinética final de la pared debe ser cero. para conservar energía.

Ahora bien, esto contradice la ley de conservación de la cantidad de movimiento, que dice que el muro debe ganar una cantidad de movimiento de 2 metro v .

Un punto más: si estamos hablando de un muro, entonces es un hecho importante, que debe tenerse en cuenta, que el muro está fijo en la tierra y, por lo tanto, la masa del muro es equivalente a la de la tierra, digamos METRO . Si se aplica ahora la ley de conservación de la cantidad de movimiento, obtenemos la velocidad de la pared, digamos V = 2 metro v / METRO que es sin duda un valor extremadamente pequeño. Pero, la ley de conservación de la energía dice estrictamente que la velocidad de la pared debe ser exactamente cero, no se permite ni el valor más pequeño (teóricamente hablando).

Por favor, aclare esto y corríjame en cualquier lugar si me equivoco. He hecho todo lo posible para dejar en claro lo que quiero preguntar :).

"claramente las magnitudes de las velocidades inicial y final de la pelota son iguales" Piénsalo de nuevo.
@garyp sí, qué declaración objetivamente incorrecta. Eso es como decir un 10 metro / s impulso a un objeto que ya viaja a 10 metro / s lo dejaría viajando exactamente 20 metro / s . ¿Qué persona normal y cuerda haría tal declaración? (Dijo, intentando retratar un sarcasmo obvio pero posiblemente fallando miserablemente)
@Jim El sarcasmo es claro, pero el objetivo no lo es. Si soy el objetivo, no me ofendo, pero señalaré que el OP ha presentado un conjunto inconsistente de condiciones.
"Entonces apliqué la ley de conservación de la energía cinética..." No existe tal ley.
@garyp sin objetivo. Es un punto válido que hiciste que en realidad era equivalente a mi comparación. Y también es cierto que la mayoría de la gente diría racionalmente mi declaración de ejemplo. El sarcasmo pretende mostrar que, aunque técnicamente es falso, a nadie le importaría decir ese tipo de declaración.
FWIW, esto es básicamente lo mismo que esta otra pregunta .
@BillN en una colisión perfectamente elástica, KE permanece conservado. ¡¡Esto era lo que quise decir!!
@Jim 20 metro / s ? ¡Seguramente no! Eso es más de 2.2253E-14 metro / s demasiado rapido. :)
KE del sistema bola+pared(+tierra y todo...) se conserva. ¿Por qué tener en cuenta sólo la pelota? Entonces las magnitudes de las velocidades inicial y final de la pelota no son iguales
@PM2Ring Lo sé, es una farsa
Para este tipo de preguntas, un buen enfoque es el siguiente: NO asuma que una cantidad es insignificante con respecto a otra (podría sentir aquí que esta fue la fuente de la confusión). En este caso, reformule su problema como el elástico de dos bolas, donde una está inicialmente en reposo. Puedes resolver esto muy fácilmente usando la conservación de la energía y el momento. Luego, haz que la masa de la segunda bola sea muy grande y observa qué sucede. Creo que esta forma de pensar te da la solución sin realizar ningún cálculo.
@ user375072 Esto solo sucede cuando tomas tu pared para tener una masa infinita; de lo contrario, tu pared comienza a moverse.

Respuestas (4)

Pero, la ley de conservación de la energía dice estrictamente que la velocidad de la pared debe ser exactamente cero.

En realidad, no lo hace . La energía se conserva, sí, pero nada tiene que ser cero para que se conserve.

El error es que supone que la pared también está estacionaria después de la colisión. Esta es su propia suposición, y como muestra claramente con la conservación del momento, eso no puede ser cierto.

Ya te diste cuenta de que si se incluye toda la Tierra en la imagen, la ley de conservación del momento tiene sentido en la forma en que a la Tierra se le da una velocidad diminuta, diminuta, diminuta después de la colisión. Ahora rehaga las consideraciones de conservación de energía con esto en mente; en otras palabras, rehaga los cálculos de energía sin asumir que la pared/Tierra está estacionaria.

De hecho, la velocidad de la Tierra adquirida es tan pequeña que es insignificante; es por eso que generalmente se supone que es cero.

Además, para empezar, si lanzas la pelota desde algún lugar de la Tierra, la diminuta, diminuta, diminuta cantidad de velocidad que estás agregando a la Tierra se ve contrarrestada por la diminuta, diminuta, diminuta cantidad de velocidad en la dirección opuesta a cuando lanzaste la pelota.
@Amadeus9 Sí, pero eso es irrelevante para los cálculos de la colisión entre la bola y la pared.

Cuando la pelota golpea la pared y rebota, transfiere un impulso de aproximadamente 2 metro b v b a la pared. La pared está fijada a los cimientos del edificio, por lo que de manera similar empuja el edificio y transfiere ese impulso al edificio. El edificio está firmemente arraigado a la Tierra y, por lo tanto, ese impulso se transfiere a la Tierra. A su vez, la Tierra acepta el impulso adicional y dice "¡Ja! ¡Qué impulso adicional tan débil! Ignoraré tus lamentables intentos de afectarme como ignorarías el peso de una bacteria adicional en tu mano". Técnicamente, la velocidad de la Tierra aumenta de tal manera que

∼ 2 metro b v b = METRO mi Δ v mi
Cualesquiera que sean la masa y la velocidad de la pelota, la masa de la Tierra es 5.97 × 10 24 k gramo , por lo que el delta-v de la Tierra es básicamente nada. También recuerda que probablemente hay 10 cuatrillones de otras cosas de masa similar sumando y restando impulso a la Tierra en todas las direcciones. Se cancela (aparte de ser insignificante).

En cuanto a la energía, dado que la energía cinética es proporcional a v 2 y el impulso es sólo proporcional a v , el cambio en la energía cinética total de la Tierra a partir de esta interacción es incluso menor que el cambio en su momento total (si medimos porcentajes relativos, no valores numéricos absolutos). Esto se debe simplemente a lo limitado que fue el cambio en la velocidad de la Tierra por su masa colosal (lo siento Tierra, ni siquiera un problema glandular excusará lo gordo que eres. La Tierra es tan gorda que tiene su propia atracción gravitacional). Entonces estrictamente hablando, para que sea una colisión perfectamente elástica, la energía cinética del sistema no cambia, lo que significa que la velocidad final de la pelota no es exactamente − v . Hagamos algunas de las matemáticas iniciales e ignoremos cosas como el momento angular (es decir, supongamos que la pelota golpea normal a la superficie de la Tierra). Además, supongamos que la velocidad inicial de la Tierra es cero y llamemos a la velocidad inicial de la pelota v y la masa de la pelota metro b = 1 k gramo .

− metro b Δ v b = METRO mi v mi F
metro b v 2 = metro b v b F 2 + METRO mi v mi F 2

Inserte algo de álgebra razzmatazz aquí, luego agregue un poco de pegamento PVA, y debería verse así:

v b F 2 + 1 5.97 × 10 24 Δ v b 2 = v 2

Así que ahí lo tienes. La velocidad final de la pelota se puede encontrar con esta ecuación. Dado que razonablemente esperamos que el cambio en la velocidad de la pelota esté en algún lugar alrededor − 2 v , ese segundo término en el lado izquierdo de esta ecuación siempre será alrededor de 24 órdenes de magnitud más pequeño que el primer término. ¿Qué significa esto? Ninguna calculadora que posea ni la mayoría de las calculadoras basadas en computadora (aparte de los programas configurados explícitamente que también podría escribir usted mismo) serán lo suficientemente precisas para resolver la diferencia entre la velocidad final técnicamente precisa de la pelota y si dijera que fue solo v F = − v . Tampoco es difícil convencerse de que el cambio en la velocidad de la Tierra es aproximadamente 24 órdenes de magnitud menor que el cambio en la velocidad de la pelota.

Bien, volvamos al punto que nos ocupa. Te preguntaste cómo se conservan realmente el ímpetu y la energía. Bueno, la energía y el impulso se transfieren a través de la pared hacia la Tierra, que los absorbe. Sin embargo, el cambio de velocidad que esto provoca en la Tierra es tan pequeño que es prácticamente imposible de medir. Entonces, lo que terminas viendo es que la pelota se comporta como si rebotara en un objeto inamovible. La verdad es que el cambio de velocidad no es exactamente − 2 v , pero te prometo que todos estarán de acuerdo si quieres redondear a − 2 v .

Entonces, me equivoqué al pensar que la velocidad final de la tierra es exactamente cero, lo cual no lo es. Muchas gracias Jim, tu explicación fue exactamente lo que necesitaba :)
@user375072 para eso estoy aquí
Estoy un poco confuso en su marco de referencia. (Está bien, en realidad no lo soy, pero...) Si fijamos el sistema de coordenadas a la Tierra, entonces no es inercial en un instante, pero es inercial en todos los demás momentos. ¿Cuál es la velocidad final de la pelota en ese marco de retroceso lento? (Predigo que es − v .)
@EricTowers sí, − v . Sin embargo, mi marco era el marco inicial de la Tierra. La colisión con la pelota impulsó a la Tierra fuera de ese marco, pero no a mí (no tengo miedo de no impulsar)
In turn, Earth accepts the extra momentum and says "Hah! Such weak extra momentum. I shall ignore your pitiful attempts to affect me as you would ignore the weight of an extra bacteria on your hand".¡Ja! Agradable.

La pared está conectada a la tierra. La tierra y la pared ganan un impulso de 2mv que es tan insignificante que su efecto sobre la tierra y la pared es básicamente inexistente para todos los efectos.

Creo que todos ignoran el hecho de que una parte de la energía de la pelota se convertirá en calor al golpear la pared. Esto debe tenerse en cuenta estrictamente en esta ecuación. (Ex profesor de física)

No nos estamos olvidando de eso. Es una colisión perfectamente elástica, lo que por definición significa que se conserva toda la energía cinética. Si permitimos la conversión de energía cinética en energía térmica, entonces la colisión se convierte en algo más que perfectamente elástico, lo cual no está en el espíritu de la pregunta.
¿Contradicción entre la ley de conservación de la energía y la ley de conservación del momento?
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