Orden de índice en la transformada de Lorentz

Respuesta corta

Su notación no es ambigua porque la expresión

$$V^{'\mu} \equiv \Lambda^\mu_\nu V^\nu$$ sólo puede significar suma a lo largo de la $\nu$componente. Desde $\Lambda$es una representación del grupo de Lorentz, es un operador lineal, por lo tanto, solo puede actuar sobre un vector de la forma habitual en que las matrices actúan sobre los vectores. Por lo tanto, lo anterior es inequívoco.

Respuesta más larga

Explicaré por qué, en general, esta notación es inequívoca.

La convención es la siguiente: el índice superior denota un índice vectorial y el índice inferior denota un índice vectorial dual y. Es decir, para un rango general$(p, q)$tensor, normalmente se escribiría

$$T^{\mu_1...\mu_p}_{\nu_1...\nu_q} \partial_{\mu_1} \otimes ... \otimes \partial_{\mu_p} \otimes dx^{\nu_1}... dx^{\nu_q}$$

dónde$\{\partial_\mu\}$denota una base para su espacio vectorial y${dx^\nu}$denota una base para su espacio vectorial dual . (La notación que elegí es de geometría diferencial, que ciertamente es útil cuando defines una teoría de campo en una variedad de espacio-tiempo general).

Como caso especial, una transformación lineal es un rango$(1,1)$tensor. A saber$\Lambda^\mu_\nu$denota sin ambigüedad los componentes del tensor:

$$\Lambda^\mu_\nu ~\partial_\mu \otimes dx^\nu$$

Actuando sobre un vector$V \equiv V^\tau \partial_\tau$, obtenemos:

$$\Lambda[V] \\ = \Lambda^\mu_\nu ~\partial_\mu \otimes dx^\nu [V^\tau \partial_\tau] \\ = \Lambda^\mu_\nu V^\tau (\partial_\tau dx^\nu) ~\partial_\mu \\ = \Lambda^\mu_\nu V^\tau \delta_\tau^\nu ~\partial_\mu \\ = \Lambda^\mu_\nu V^\nu ~\partial_\mu$$

Observe que no se necesita relleno horizontal en los índices para que estas manipulaciones no sean ambiguas.