Opiniones sobre materiales básicos de matemáticas para enseñar a niños de 8º y 9º grado en un campamento de verano

El libro Mathematical Circles contiene material excelente. Hablando de estar "involucrado", la combinatoria está ahí para el propósito. Aunque no estoy seguro de que "Graduate Mathematics" tenga un impacto profundo en ellos. De hecho, las matemáticas de pregrado como la teoría de grupos lo que es lo suficientemente interesante es bastante atractivo y veo a muchos estudiantes de 8.º y 9.º grado leyendo Artin y demostrando cosas mientras que yo acabo de empezar con cosas de pregrado. Eso sí, son un grupo muy motivado proveniente de Mathcounts-AIME-USA ( Configuración de J)MO. Pero lo que es común en ellos es que adquirieron cierto gusto por las matemáticas superiores y las Olimpiadas, lo que sirvió como catalizador de su interés en el tema.

Sin embargo, no estoy seguro de que esta sea la edad en la que decidan ser teóricos de números o topólogos o cualquier otro campo de especialización. Cuando tratas de guiarlos, puedes terminar matando su interés en algunas áreas de las matemáticas. Entonces, ¿por qué no permitirles que elijan? :PAG

Por cierto, recuerdo cómo, cuando era estudiante de noveno grado, estaba fascinado por lo que puede hacer la aritmética modular. Los gráficos se pueden visualizar fácilmente. Más importante aún, eres mejor juez que yo; solo soy un chico en la escuela secundaria. Sin embargo, espero que eso ayude. El usuario 21820 en realidad ha incluido algunas matemáticas en su publicación.

Aquí hay dos posibles actividades que ilustran dos conceptos matemáticos fundamentales, biyección e inducción. Hay muchos otros conceptos importantes como la contradicción, la delimitación, las formas canónicas y los valores extremos, que en mi opinión son más fundamentales que los "hechos y métodos básicos" en cada campo.

Haga que cada grupo forme cualquier árbol binario, comenzando con una persona como raíz, y donde cada nueva persona solo puede unirse si alguien lo sostiene con una mano libre. Luego pídales que cuenten el número total de manos libres. ¿Es siempre lo mismo para cualquier árbol? Una forma es contar el número total de manos menos el número total de manos "usadas", y el número total de manos usadas es exactamente el número de personas excepto la raíz. ¿Qué pasa si algunas personas solo pueden usar una mano o ninguna? ¿Pueden encontrar una forma de contar el número total de manos libres en términos del tamaño del grupo y las restricciones de cada persona? Más tarde puede decirles todas las diferentes formas de ver el problema. La forma anterior trata a cada persona y la mano que lo sostiene como una unidad. Otra forma es tratar a cada persona con sus manos (inicialmente libres) como una unidad y considerar qué sucede con el tamaño del árbol y la cantidad de manos libres cuando se agrega. Esto se basa en la inducción, por lo que también es un buen lugar para mencionarlo.

Para la próxima actividad, haz que todos formen un gran árbol de modo que todos estén lo más cerca posible de la raíz. En otras palabras, minimizar la profundidad. Luego puede explicar que esto es equivalente a maximizar la cantidad de personas que se pueden unir al árbol con una cierta profundidad. Luego, puede mostrar explícitamente cómo funciona una prueba por inducción del tamaño máximo, así como aclarar por qué no puede "comenzar desde un árbol de profundidad$d$y construir un árbol de profundidad$d+1$...", que es el error más común de los estudiantes e incluso de los profesores. En su lugar, debe comenzar pidiéndoles que formen cualquier árbol aleatorio de profundidad$d$, y luego demuestre que puede eliminar la raíz, lo que da como resultado dos árboles que, según la hipótesis de inducción, deben tener cada uno como máximo$2^d-1$personas, por lo tanto, el árbol original debe haber tenido como máximo$2(2^d-1)+1=2^{d+1}-1$personas, por lo que por inducción la fórmula es correcta. Si los estudiantes son rápidos para comprender esto, puede mostrar una prueba alternativa eliminando a todos los que tienen las dos manos libres. Luego, la profundidad disminuye en uno y el árbol resultante tiene como máximo$2^d-1$personas, y por el juego anterior tenía como máximo$2^d$manos libres, por lo que debe haber eliminado como máximo$2^d$gente, por lo tanto, el árbol original tenía como máximo$(2^d-1)+2^d=2^{d+1}-1$gente.

Estoy seguro de que si los estudiantes captan por completo los dos ejemplos anteriores, comprenderán mucho mejor el conteo y la inducción que con todos los ejemplos del programa de estudios. Para un ejemplo aún más avanzado, puede dejar que compitan para volver a dibujar un gráfico plano con solo bordes rectos que no se intersecan. ¿Es siempre posible? También pídales que calculen el número máximo de aristas en un gráfico plano finito e intenten demostrarlo. La solución más rápida que conozco es probar primero que puede "triangular" cualquier gráfico plano agregando bordes. Finalmente también podrías explorar las gráficas donde cada vértice tiene el mismo grado.