¿Por qué se cuantifica el momento angular orbital según I=ℏℓ(ℓ+1)−−−−−−√I=ℏℓ(ℓ+1)I= \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)}?

Simplemente no tengo idea de cómo se encuentra este resultado.

I = ℏ ℓ ( ℓ + 1 ) .
El resultado parece simplemente arrojarse a los libros de texto en lugar de explicarse. Puedo obtener el resultado de que I z = ℏ metro j . Explique lo más claramente posible cómo se obtiene esto.

Además, agradecería cualquier sugerencia sobre libros/videos que puedan ayudarme a aprender mecánica cuántica.

En realidad, es un problema un poco espinoso, pero la esencia tiene que ser algo así como "obtenemos esta ecuación para Φ ( ϕ ) , podemos suponer Φ ( ϕ ) = Z ( porque ⁡ ( ϕ ) ) porque en este rango porque es invertible; que da la ecuación de Legendre asociada en z = porque ⁡ ϕ , entonces para obtener una solución adecuada necesitamos (al menos) Φ ′ ( 0 ) = Φ ′ ( π ) = 0 , y posiblemente para que otros derivados también desaparezcan". Esas condiciones de contorno son prácticamente las únicas cosas que pueden cuantificar el número asociado a ℓ ( ℓ + 1 ) .
La respuesta de ACuriousMind es correcta, pero no va a desmitificar este problema para las personas que no dominan la teoría de grupos. Para un argumento visual muy aproximado e intuitivo, consulte la sección 14.2.4 de mi libro Simple Nature: lightandmatter.com/area1sn.html .

Respuestas (1)

Esto viene de la teoría de la representación del grupo de rotación. S O ( 3 ) .

La mecánica cuántica tiene lugar en un espacio vectorial y los observables son operadores en este espacio. La cantidad total de momento angular se obtiene a partir de los momentos angulares L X , L y , L z sobre los tres ejes del espacio como

L = L X 2 + L y 2 + L z 2
ya que esa es la longitud del vector L → = ( L X , L y , L z ) T .

La teoría de representación del grupo de rotación ahora le dice que los únicos valores posibles para L sobre las llamadas representaciones irreductibles , a las que los estados con I = yo ( yo + 1 ) pertenecen, están restringidos a L = yo ( yo + 1 ) con yo un entero no puedes hacer L X , L y , L z comportarse como operadores de momento angular (es decir, como operadores que generan las rotaciones en el sentido de que forman el álgebra de Lie perteneciente al grupo de rotación) sin L tomando estos valores enteros. La prueba de esto es técnica y se encuentra, por ejemplo, en la página de Wikipedia que vinculé al principio o, en otro enfoque, se encuentra en mi respuesta aquí .

el prefactor ℏ = h 2 π para yo ( yo + 1 ) se encuentra por análisis dimensional y comparando con los resultados experimentales.

Probablemente no sea tan general, pero también está el hecho de que si está resolviendo la ecuación de Schrödinger para un sistema rotacional, terminará con polinomios de Legendre (o, en general, armónicos esféricos), y si no cuantifica ℓ no obtendrá soluciones de buen comportamiento.
¿No es posible obtener este resultado de la ecuación de Schrödinger?
@zeldredge: En realidad, los armónicos esféricos (enlace a la parte relevante del artículo Wiki) con fijo yo son todas las representaciones irreducibles del grupo de rotación, por lo que creo que es una forma completamente equivalente si tiene un hamiltoniano rotacionalmente invariante.
Oh, creo que tienes razón. Lo siento, mi teoría de la representación no es tan buena como podría ser y no tengo una buena intuición sobre cómo entra en las cosas.
@RobChem: es posible, por ejemplo, si observa el átomo de hidrógeno . Encuentra que las soluciones de la parte dependiente angular, los armónicos esféricos , exhiben precisamente la yo ( yo + 1 ) , pero allí simplemente se sale de la estructura de las soluciones con poca información. La teoría de la representación es la razón subyacente.
¿Por qué se cuantifica el momento angular orbital según I=ℏℓ(ℓ+1)−−−−−−√I=ℏℓ(ℓ+1)I= \hbar \sqrt{\ell(\ell+1)}?
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