Onda estacionaria y modo óptico en un cristal.

Quiero entender cómo cuando la longitud de onda$\lambda$es igual a 2a, siendo a la constante de red, dos partículas de construcción vecinas del cristal se mueven en dirección opuesta. La fórmula general para el desplazamiento de una partícula de su equilibrio es:

$U_n=Ue^{i(k\cdot a\cdot n -\omega t) }$.

Ahora bien, si la longitud de onda$\lambda = 2a$eso significa que el número de onda es$k=\frac \pi a$. En cualquier momento el desplazamiento entre la partícula en la posición n y la que está en la posición n+1 debe ser opuesto, es decir, si para la partícula en la posición n el desplazamiento tiene un valor negativo, eso significa que está a la izquierda de la posición de equilibrio, mientras que la partícula en la posición n+1 debe estar a la derecha, lo que significa un valor positivo del desplazamiento, pero los valores absolutos de los desplazamientos para ambas partículas deben ser iguales. Cuando conecto los siguientes valores:$k=\frac \pi a$, t=0, obtengo algo que tiene un número complejo y no veo el movimiento contrario. Alguien me puede ayudar mostrándome, a través del cálculo, que efectivamente, por$k=\frac \pi a$dos partículas vecinas se mueven en dirección opuesta.

Y en cuanto a los fonones ópticos. La primera condición para su existencia es que en la red cristalina debemos tener al menos 2 átomos diferentes. El otro de wikipedia es:

"Los fonones ópticos son movimientos fuera de fase de los átomos en la red, un átomo moviéndose hacia la izquierda y su vecino hacia la derecha".

Y ese tipo de movimiento ocurre solo para la longitud de onda más corta/valor más grande del número de onda. ¿Significa esto que los fonones ópticos existen solo cuando la longitud de onda de la onda que se propaga es mínima, lo que significa$k=\frac \pi a$?