¿No es suficiente la ecuación de onda de D'Alembert para ver que las transformaciones de Galileo son incorrectas?

Su razonamiento es acertado y la ecuación de D'Alembert no es invariante de Galileo: no se está perdiendo nada aparte de algún conocimiento histórico; esta tampoco es mi especialidad, pero creo que puedo responder.

Esta invariancia no galileana se tomó simplemente como evidencia de la existencia de un éter luminífero. La ecuación de onda de D'Alembert también describe perfectamente el sonido y, por supuesto, no hay problema con su invariancia no galileana aquí: esto es exactamente lo que espera cuando hay un marco "privilegiado" definido por el medio de una onda. Cuando se descubrieron las ecuaciones de Maxwell, la comunidad física simplemente asumió que eran correctas solo para el marco en reposo en relación con el éter luminífero. A mediados del siglo XIX, la mayoría de los investigadores habían abandonado el postulado de la relatividad de Galileo, al menos por la luz. Esta no era una postura irrazonable hasta que fue invalidada por experimentos como el experimento de Michelson-Morely:

No hay problema con la no invariancia de la ecuación de D'Alembert para ondas mecánicas, si entiendo lo que quieres decir, porque las ondas mecánicas tienen un marco de inercia preferido, un "éter".

Por ejemplo, una onda de sonido en un fluido satisface la ecuación de onda con velocidad:

El punto es que se supone que las ecuaciones de Maxwell son válidas en todos los marcos de referencia inerciales. Dado que, en el vacío, conducen a la ecuación de onda, la ecuación de onda debe ser válida en todos los marcos inerciales, ese es el problema.