Ecuación de onda clásica y relatividad

Question

Ecuación de onda clásica y relatividad

J.Manuel

Déjalo ser $f=f(r,t)$ cualquier función que represente la "forma" o el "perfil" de un objeto. En la física clásica $f$ obedece a la ecuación de onda "clásica".

\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} - v^{2} \nabla^{2} F = 0

$\begin{equation} \frac{∂^2f}{∂t^2}-v^2\nabla^2 f=0 \end{equation}$

Si uno imagina que el objeto es una bola de billar, entonces $f$ describiría con precisión el movimiento de traslación de la pelota hacia la derecha o hacia la izquierda con velocidad $v$ . Sin embargo, la forma relativista de esta ecuación exacta (con $0\leqslant v \leqslant c$ ) no existe, ya que:

Si un fenómeno obedece a la ecuación de onda clásica, entonces $v$ debe ser igual en todos los marcos de referencia, lo que obviamente no es el caso de una bola de billar.
Considerando el párrafo anterior (párrafo 1.) y el postulado de que la velocidad de la luz debe ser igual en todos los marcos de referencia, se sigue que la ecuación de onda clásica se cumple solo en aquellos casos en los que $v=c$ (Ecuaciones de Maxwell, por ejemplo).

Mi pregunta es: ¿ Hay algún problema con mi razonamiento y la ecuación de onda se mantiene como está ? Si no, ¿cuál es la forma relativista equivalente de esta ecuación?

una mente curiosa

¿Has intentado buscar "ecuación de onda relativista"?

bob abeja

Tu pregunta no está del todo clara y has causado mucha confusión. Haz una pregunta clara

Cretino2

Tal como lo entiendo: para una onda de materia, la velocidad transversal debe ser relativista, por lo tanto, el tiempo debe reemplazarse por el tiempo propio multiplicando por

(1 - {\dot{y}}^{2} / c^{2})^{- 1 / 2}

$(1-\dot{y}^2/c^2)^{-1/2}$ entonces :

v^{2} \partial_{x x} y - \partial_{t t} y \mapsto v^{2} \partial_{x x} y - (1 - {\dot{y}}^{2} / c^{2})^{- 1} \partial_{t t} y + 1 / c^{2} {\dot{y}}^{2} \ddot{y} (1 - {\dot{y}}^{2} / c^{2})^{- 2}

$v^2\partial_{xx}y-\partial_{tt}y\mapsto v^2\partial_{xx}y-(1-\dot{y}^2/c^2)^{-1}\partial_{tt}y+1/c^2\dot{y}^2\ddot{y}(1-\dot{y}^2/c^2)^{-2}$ ?? ¿Es la pregunta?

Cretino2

Si uno ve así, entonces produce una serie infinita de transformaciones de espacio-tiempo y ecuaciones de onda por iteración.

Respuestas (3)

Ecuación de onda clásica y relatividad

Tu pregunta no está del todo clara y has causado mucha confusión. Haz una pregunta clara
Tal como lo entiendo: para una onda de materia, la velocidad transversal debe ser relativista, por lo tanto, el tiempo debe reemplazarse por el tiempo propio multiplicando por $(1-\dot{y}^2/c^2)^{-1/2}$ entonces : $v^2\partial_{xx}y-\partial_{tt}y\mapsto v^2\partial_{xx}y-(1-\dot{y}^2/c^2)^{-1}\partial_{tt}y+1/c^2\dot{y}^2\ddot{y}(1-\dot{y}^2/c^2)^{-2}$ ?? ¿Es la pregunta?
Si uno ve así, entonces produce una serie infinita de transformaciones de espacio-tiempo y ecuaciones de onda por iteración.

usuario12029 · Answer 1

La premisa de que $\frac{\partial^2f}{\partial t^2}-v^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2}=0$ implica cualquier cosa sobre qué transformación usar es falsa.

Si se tratara de ondas superficiales en el agua en un mundo newtoniano, entonces la transformación correcta a utilizar sería, de hecho, una transformación galileana, y obtendría una ecuación de onda + un término de transporte. Enchufar $\bar{f}(x+u t,t)=f(x,t)$ para ver que aquí, donde un subíndice x denota diferenciación con respecto al primer argumento y el subíndice t con respecto al segundo argumento:

{\bar{F}}_{t t} - (v^{2} - {tu}^{2}) {\bar{F}}_{X X} + 2 tu {\bar{F}}_{X t} = 0

$\bar{f}_{tt}-(v^2-u^2) \bar{f}_{xx}+2u\bar{f}_{xt}=0$

Si se tratara de ondas superficiales en el agua en un mundo relativista, entonces la transformación correcta a utilizar sería una transformación de Lorentz. Si $v<c$ , entonces esto se transformaría extrañamente. Enchufar $\bar{f}(\gamma x+\gamma u t,\gamma t+\gamma u x/c^2)=f(x,t)$ encontrar:

\frac{C^{4} - {tu}^{2} v^{2}}{C^{4} - {tu}^{2} C^{2}} {\bar{F}}_{t t} + 2 tu \frac{C^{4} - v^{2} C^{2}}{C^{4} - {tu}^{2} C^{2}} {\bar{F}}_{X t} - C^{2} \frac{v^{2} C^{2} - {tu}^{2} C^{2}}{C^{4} - {tu}^{2} C^{2}} {\bar{F}}_{X X} = 0

$\frac{c^4 - u^2 v^2}{c^4-u^2 c^2} \bar{f}_{tt}+2 u \frac{c^4 - v^2c^2}{c^4- u^2c^2}\bar{f}_{xt}-c^2 \frac{v^2 c^2-u^2c^2}{c^4-u^2 c^2}\bar{f}_{xx}=0$

Sucede que si $v=c$ , esto se simplifica a $\bar{f}_{tt}-c^2 \bar{f}_{xx}=0$ .

Matemáticamente, la transformación de Lorentz con "velocidad de la luz" $v$ es una simetría de la ecuación diferencial parcial. Físicamente, eso no prueba que la simetría sea la correcta para usar. Las tres ecuaciones diferenciales parciales aquí son las correctas para usar en un contexto u otro.

No soy un buen historiador de la física, pero creo que esto es lo que se le atribuye a Einstein sobre Lorentz. Durante un tiempo estuvo claro que, matemáticamente, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo una transformación de Lorentz. Lo que hizo Einstein fue dar la interpretación física correcta.

Ján Lalinský · Answer 2

Sin embargo, la forma relativista de esta ecuación exacta (con $0\leqslant v \leqslant c$ ) no existe, ya que:

Si un fenómeno obedece a la ecuación de onda clásica, entonces $v$ debe ser igual en todos los marcos de referencia, lo que obviamente no es el caso de una bola de billar.

Considerando el párrafo anterior (párrafo 1.) y el postulado de que la velocidad de la luz debe ser igual en todos los marcos de referencia, se sigue que la ecuación de onda clásica se cumple solo en aquellos casos en los que $v=c$ (Ecuaciones de Maxwell, por ejemplo).

No me queda claro a qué te refieres con la forma relativista de la ecuación de onda :

\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} - v^{2} \nabla^{2} F = 0.

$\begin{equation} \frac{∂^2f}{∂t^2}-v^2\nabla^2 f=0. \end{equation}$

Si te refieres a la forma de la ecuación que es consistente con la teoría especial de la relatividad, entonces lo que debes tener en cuenta es que la forma no es importante; esta ecuación puede ser consistente con la teoría especial de la relatividad incluso si $v$ depende del marco, siempre $f$ , $v$ se transforman correctamente.

En cualquier marco dado, el patrón tiene forma y velocidad que son constantes en el tiempo, por lo que el patrón se puede expresar como función de $\mathbf x - \mathbf v t$ :

F (X, t) = Φ (X - v t)

$f(\mathbf x,t) = \Phi(\mathbf x - \mathbf vt)$

Función $f(\mathbf x,t)$ resuelve la ecuación de onda, para cualquier función $\Phi$ . El patrón rígido de movimiento uniforme se mueve uniformemente y es rígido en todos los marcos de inercia. En la teoría no relativista el patrón $\Phi$ es el mismo en todos los marcos inerciales. En una teoría relativista no lo es, ya que sufre la contracción de Lorentz.

Esto significa que para usar la ecuación de onda para describir el patrón en un marco de referencia diferente, uno tiene que usar apropiadamente $\Phi$ y $v$ . Si el patrón se mueve con velocidad constante y la forma no cambia, esto siempre es posible.

Si uno comienza con la ecuación $\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial X^{2}} F = 0$ $\begin{equation} \frac{∂^2f}{∂t^2}-v^2 \frac{∂^2f}{∂x^2}f=0 \end{equation}$ después de la transformación de lorentz, se convierte en $\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{' 2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial X^{' 2}} F = 0$ $\begin{equation} \frac{∂^2f}{∂t’^2}-v^2 \frac{∂^2f}{∂x’^2}f=0 \end{equation}$ ser $v$ lo mismo en ambos sistemas y no $\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{' 2}} - v^{' 2} \frac{\partial^{2} F}{\partial X^{' 2}} F = 0$ $\begin{equation} \frac{∂^2f}{∂t’^2}-v’^2 \frac{∂^2f}{∂x’^2}f=0 \end{equation}$ Esta es la razón por la que dije Ecuación de onda clásica, ya que solo se aplica a aquellos fenómenos que se mueven con la velocidad de la luz. Gracias por responder.
¿Por qué crees $v$ y $f$ no cambia bajo la transformación de Lorentz? Creo que sí, ya que la forma y la velocidad del objeto son diferentes en diferentes fotogramas.

librecharly · Answer 3

librecharly

Tu pelota no obedece a una ecuación de onda clásica a pesar de que su contorno se mueve con velocidad constante. Al menos tendría que considerar la ecuación de Schroedinger para la función de onda. Esta, sin embargo, no es una ecuación de onda sino que tiene una derivada de primer orden con respecto al tiempo y sus soluciones no conservan la forma en el tiempo.

Su pelota es simplemente un objeto extendido que se mueve a una velocidad v relativa a su marco de referencia inercial. Si lo mide en un marco de referencia inercial diferente, solo tiene que usar la transformación de Lorentz para las coordenadas y el tiempo. Entonces se obtiene, por ejemplo, una contracción del diámetro longitudinal y la velocidad se suma a la velocidad del marco de referencia de acuerdo con la suma de la velocidad de la relatividad especial.

Cuando observa la solución general de la propagación de onda clásica (sub c) en un marco de referencia de acuerdo con su ecuación de onda, simplemente aplica la transformación de Lorentz para obtener el comportamiento de forma y tiempo en un marco de referencia diferente.

J.Manuel

¿Podría aclararme por qué la traslación de la pelota no obedece a esta ecuación? Mi razonamiento es: Sea una partícula moviéndose con velocidad constante. Si se resuelve la segunda ley de Newton con

F = 0

$F=0$ , entonces terminas con

r = v t

$r=vt$ o

r - v t = 0

$r-vt=0$ . Sin embargo, esta es solo la solución para un objeto puntual de la ecuación de onda cuya solución general es

f (r - v t)

$f(r-vt)$ (considerando solo el movimiento a la derecha). Gracias.

librecharly

Primero, solo necesitas la primera ley de Newton para obtener r=vt para una partícula puntual. Entonces, cuando tiene una solución matemática para la ecuación de onda genérica que también tiene una velocidad de onda v, eso no implica que haya una conexión física entre la onda matemática y el punto de masa, o para el caso, su bola de billar. Tercero, no hay ningún problema en observar una onda con velocidad v en un sistema inercial A en otro sistema inercial B que tiene una velocidad relativa a A. La velocidad v' y la forma de la onda f(x'-vt') serán estar dada por la transformación de Lorentz.

librecharly

No necesita encontrar ninguna "ecuación de onda relativista". La ecuación de onda clásica funciona para el sistema A y la descripción de la onda en B se deriva de A. No entiendo lo que quiere decir con el punto 1, que una velocidad de onda clásica v debería ser la misma en todos los marcos de referencia. Esto sucede solo para v=c y la consecuencia es la Teoría Especial de la Relatividad y la transformación de Lorentz. Puede encontrar la transformación de Lorentz entre A y B aquí en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity .

J.Manuel

Si revisa este enlace ( alumnus.caltech.edu/~dif/WaveEqnInvar/main.html ) sobre la invariancia de la ecuación de onda, notará que si uno comienza con la ecuación

\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} f = 0

$\frac{∂^2f}{∂t^2}-v^2 \frac{∂^2f}{∂x^2}f=0$ , después de la transformación de lorentz, se convierte en

\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{' 2}} - v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{' 2}} f = 0

$\frac{∂^2f}{∂t’^2}-v^2 \frac{∂^2f}{∂x’^2}f=0$ ser

v

$v$ lo mismo en ambos sistemas y no

\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{' 2}} - v^{' 2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{' 2}} f = 0

$\frac{∂^2f}{∂t’^2}-v’^2 \frac{∂^2f}{∂x’^2}f=0$ .

c

$c$ se usó como la velocidad de la onda allí, sin embargo, es solo la convención normal usar

c

$c$ como la velocidad de la onda, no la velocidad de la luz. Gracias.

librecharly

Este buen enlace muestra explícitamente que las únicas transformaciones lineales de tiempo de coordenadas que conducen a la invariancia de forma de la ecuación de onda clásica con la velocidad de onda c es la familia de transformaciones de Lorentz que también contienen la velocidad c, que experimentalmente es la velocidad de la luz. No puede sustituir ninguna velocidad diferente (una velocidad v más baja que la velocidad de la luz c) en esta derivación porque esto le daría formalmente una transformación de Lorentz con una velocidad de referencia v más baja que la velocidad de la luz c, lo cual es una completa tontería física.

librecharly

El problema en su razonamiento es: la ecuación de onda clásica con una velocidad de onda más baja que la velocidad de la luz c no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Es invariante solo cuando la velocidad de la onda c es igual a la velocidad de la luz.

J.Manuel

Sí, ese es exactamente mi problema. Si ves la respuesta que te presento apunta a ello. Sin embargo, si revisas la pregunta original en sí, verás que la estaba adivinando en el punto 2, pero no podía continuar con la suposición, ¿verdad? Gracias por todo el tiempo que has dedicado a esta tarea. Manuel.

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