¿Cómo se ve una transformación galileana de las ecuaciones de Maxwell?

No soy un experto en el desarrollo histórico del tema, sin embargo, ofreceré una derivación.

Considere dos marcos de referencia$S$y$S'$, y supongamos que$S'$se mueve con velocidad$\textbf v$con respecto a$S$. Coordenadas en$S$y$S'$están relacionados por una transformación galileana:

$$\begin{cases} t' = t \\ \textbf x' = \textbf x-\textbf vt\end{cases}$$ Para encontrar cómo se transforman los campos, observamos que una transformación de Lorentz se reduce a una transformación galileana en el límite $c \to \infty$. De hecho, bajo una transformación de Lorentz, los campos se transforman como : $$\begin{cases} \textbf E' = \gamma (\textbf E + \textbf v \times \textbf B) - (\gamma-1) (\textbf E \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\ \textbf B' = \gamma \left(\textbf B - \frac{1}{c^2}\textbf v \times \textbf E \right) - (\gamma-1) (\textbf B \cdot \hat{\textbf{v}}) \hat{\textbf{v}}\\ \end{cases}$$ Tomando el límite $c\to \infty$así que eso $\gamma\to 1$, obtenemos las transformaciones galileanas de los campos: $$\begin{cases} \textbf E' = \textbf E + \textbf v \times \textbf B\\ \textbf B' = \textbf B\\ \end{cases}$$ Entonces podemos invertir la transformación enviando $\textbf v \to -\textbf v$: $$\begin{cases} \textbf E = \textbf E' - \textbf v \times \textbf B'\\ \textbf B = \textbf B'\\ \end{cases}$$ Por el mismo razonamiento, se puede obtener la transformación galileana de las fuentes: $$\begin{cases} \textbf J = \textbf J' + \rho' \textbf v\\ \rho = \rho'\\ \end{cases}$$ Sabemos que los campos y las fuentes satisfacen las ecuaciones de Maxwell en $S$: $$\begin{cases} \nabla \cdot \textbf E = \rho/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B = 0\\ \nabla \times \textbf E = -\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J +\epsilon_0 \frac{\partial \textbf E}{\partial t} \right)\\ \end{cases}$$ Sustitución de los campos y fuentes en $S$con los que están en $S'$obtenemos: $$\begin{cases} \nabla \cdot \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = \rho'/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B' = 0\\ \nabla \times \textbf (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B') = -\frac{\partial \textbf B'}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B' = \mu_0 \left(\textbf J' + \rho' \textbf v +\epsilon_0 \frac{\partial (\textbf E' - \textbf v \times \textbf B')}{\partial t} \right)\\ \end{cases}$$ Como último paso, necesitamos reemplazar las derivadas en $S$con derivados en $S'$. Tenemos: $$\begin{cases} \nabla = \nabla' \\ \frac{\partial }{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t'} - \textbf v \cdot \nabla\end{cases}$$ Sustituyendo y quitando los números primos y usando cálculo vectorial, obtenemos: $$\begin{cases} \nabla \cdot \textbf E + \textbf v \cdot (\nabla \times \textbf B) = \rho/\epsilon_0\\ \nabla \cdot \textbf B = 0\\ \nabla \times \textbf E = -\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\\ \nabla \times \textbf B = \mu_0 \left(\textbf J + \rho \textbf v +\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}( \textbf E - \textbf v \times \textbf B) - \epsilon_0 \textbf v \cdot \nabla (\textbf E - \textbf v \times \textbf B) \right)\\ \end{cases}$$

En el vacío, podemos tomar el rotacional de la cuarta ecuación para obtener:

$$c^2\nabla^2 \textbf B = \frac{\partial^2 \textbf B}{\partial t^2} + (\textbf v \cdot \nabla)^2 \textbf B - 2 \textbf v \cdot \nabla \left(\frac{\partial \textbf B}{\partial t}\right)$$ Sustituyendo una solución de onda de la forma $\textbf B \sim \exp{i(\textbf k \cdot \textbf x -\omega t)}$Obtenemos una ecuación para $\omega$, que podemos resolver para obtener: $$\omega = -\textbf v \cdot \textbf k \pm c |\textbf k|$$ Por lo tanto, la velocidad de propagación es la velocidad de grupo: $$\frac{\partial \omega}{\partial \textbf k} = -\textbf v \pm c \hat{\textbf{ k}}$$ que te da lo esperado $c\pm v$con una adecuada elección de $\textbf v$y $\textbf k$.