Necesito ayuda para entender ∃x∀y frente a ∀x∃y

Tengo entendido que para ∃x∀y, solo puede haber un valor de x que sea verdadero para cada valor de y. Lo que significa que solo hay un valor de x (que no se puede cambiar) para cada valor de y diferente. La declaración ∃x∀y(p(x,y)) es verdadera cuando hay un valor de x (digamos x=0) que es verdadero para y=-2,-1,0,1,2,... (por cada y). Corríjame si me equivoco, pero esta es mi comprensión de esta notación.

Y ahora mi comprensión de la segunda notación ∀x∃y(p(x,y)) es que para cada valor de x, existe una y tal que p(x,y). Es decir, para cada valor de x (x=-2,-1,0,1,2,...) puede haber un valor de y diferente para cada valor de x, de modo que la afirmación sea verdadera.

Realmente no sé cómo explicar esto bien, pero intentaré resumir mi comprensión. Si la notación es ∃x∀y entonces solo hay una x que no se puede cambiar y que es verdadera para cada y. Si la notación es ∀x∃y, entonces el valor de y no tiene que ser el mismo valor de y para cada valor de x. Es decir, para cada valor de x puede haber un valor de y que sea diferente de otro valor de y para otro valor de x.

Si mi pensamiento es correcto, dígalo, de lo contrario, intente ayudarme a entender esto.

Casi correcto : ∃ X significa que hay al menos una x, no exactamente una.
@am¿Por qué no? ∃ X ∀ y ( L ( X , y ) ) ¿Quiere decir que una persona ama a todos, no que es amada por todos?
Para cada cerradura hay una llave, pero no hay una llave que abra todas las cerraduras.
Será más claro si conoces un concepto llamado propiedad universal . Su primer cuantificador mixto tiene una propiedad tan fuerte como un conjunto finito bien ordenado con un objeto terminal, mientras que el último no la tiene (como el infinito común norte ).
Ejemplos intuitivos: ∀x∃y: todo ser humano tiene un padre. ∃x∀y: existe un padre de todos los humanos.

Respuestas (2)

Su comprensión es correcta, con la siguiente observación.

Para ∃ X ∀ y : pag ( X , y ) , su fraseo no es consistente. A veces dices 'solo puede haber uno', pero en otros casos 'hay un valor'. La interpretación es la segunda: hay (al menos) un valor para X tal que pag ( X , y ) para todos y . Lo mismo X para todos y , estás ahí y esa es la parte crucial, pero es posible que haya un X ′ ≠ X tal que también pag ( X ′ , y ) para todos y .

¿"∃x∀y" transmite un significado diferente de "∀y∃x"? Es decir, ¿se trata la cuantificación subsiguiente como una cláusula dependiente de la precedente?, ¿o se anotaría esta dependencia con alguna puntuación matemática? ¿Y difieren los significados, si es así?
Son significados diferentes. El primero dice que hay una x que funciona con cada y. El segundo dice que para cada y tiene una x con la que trabaja, pero no tiene que ser la MISMA x
Muchas gracias. Y sí, ahora veo el "hay al menos uno".

Como nota al margen, la notación (en su mayoría estándar) para que exista exactamente una cosa única es agregar un! a tu modificador ∃ ! X : pag ( X ) significa que existe uno único X lo que hace pag cierto, por ejemplo si pag ( X ) fue la declaración X + 3 = 7 , de hecho existe exactamente un valor que lo hace verdadero, X = 4 .

Podemos hacer ∃ ! con la notación existente, es solo una notación abreviada para

( ∃ X ) : [ pag ( X ) ∧ ( ∀ y ) : pag ( y ) ⟹ X = y ]

Sin el ! obtienes al MENOS uno.

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