Múltiples de configuración y restricciones

Creo que su descripción de que los puntos de la variedad de configuración son estados posibles del sistema es lo más cercano a una definición precisa que uno encontrará. Entonces para$n$partículas en tres dimensiones, la variedad de configuración es simplemente$(\mathbb{R}^3)^n$.

En cuanto a cómo se relaciona esto con las restricciones, considere el ejemplo más simple: dos partículas unidas con una barra rígida con longitud$L$, en tres dimensiones. Deje que las partículas tengan posiciones$x_i$y$y_i$,$i=1,2,3$. Entonces la restricción de una barra rígida es que

$$L = \sum_i(x_i-y_i)^2 \tag{1}.$$ La variedad de configuración de este sistema es ese subconjunto de $(\mathbb{R}^3)^2$que verifica (1), es decir, un conjunto de niveles de la función distancia.

Es un principio general que los conjuntos de nivel de una función suave de las coordenadas también son variedades suaves. Por lo tanto, podemos decir que imponer una restricción es seleccionar una subvariedad de la variedad de configuración para un sistema sin restricciones.

OP esencialmente está preguntando sobre la terminología. Como de costumbre, esté preparado para que diferentes autores llamen a diferentes nociones de manera diferente.

Bueno, aquí hay una sugerencia: llame al espacio de configuración antes (después) de que se implementen las restricciones para el espacio de configuración extendido (físico), respectivamente.

De manera más general, si un autor está hablando de un espacio de configuración, debe deducirse del contexto si está hablando del espacio de configuración físico o extendido.

Por lo general, la gente llama al espacio de configuración ,$\mathcal{M}$, al espacio de todas las posibles coordenadas necesarias para determinar su sistema (aunque también incluiría las velocidades).

En teorías no relativistas

Las coordenadas son tres... y necesitamos proporcionar tres coordenadas por partícula (puntual), es decir , para$n$partículas que uno necesita$3n$-coordenadas que describen un$\mathcal{M}=\mathbb{R}^{3n}$espacio.

Si tienes dos partículas obligadas a estar separadas por una distancia$d$, esto significa que necesitarás una coordenada menos para determinar tu sistema,${}^\dagger$es decir, necesita cinco en lugar de seis, digamos tres coordenadas euclidianas para determinar la posición de la primera partícula y dos ángulos para determinar la posición de la segunda (con respecto a la primera), entonces$\mathcal{M} = \mathbb{R}^3 \times S^2$.

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${}^\dagger$La restricción elimina solo un grado de libertad porque es una restricción escalar.