Conjunto completo de observables en mecánica clásica.

Blau los llamó un 'conjunto completo' en analogía con la imagen de la mecánica cuántica, donde una conmutación observable (léase conmutación de Poission en el caso clásico) con un conjunto completo de observables conmutantes es proporcional a la unidad, es decir, una 'constante'. Esto se llama (primero) el lema de Schur.

I) Aquí está mi interpretación de la pregunta de OP (v1). La cita mencionada es de la página 11 en la Sección 2.2 justo debajo de la ecuación (2.22).

La Sección 2.2 está dedicada al caso donde el espacio de fase es un$2n$espacio vectorial real dimensional $V$con$2n$coordenadas globales

y corchetes canónicos de Poisson, cf. ec. (2.22). Este es un caso especial de una variedad simpléctica general.

Un observable $f$es por definición una función suave en$V$, es decir,$f\in C^{\infty}(V)$. O en palabras simples,$f$es una función suave de$x^1, \ldots, x^{2n}$. Por otro lado, el$2n$coordenadas$x^1, \ldots, x^{2n},$formar un conjunto completo de generadores para el álgebra$(C^{\infty}(V),+,\cdot)$.

Supongamos que la función$f$Poisson conmuta (tiene paréntesis de Poisson que se desvanecen) con todos los$2n$variable,

Por la definición (2.21) del corchete canónico de Poisson, deducimos que$f$tiene derivados que se desvanecen wrt. todas las posiciones y momentos.

Por eso$f$es simplemente una función constante.

II) Por otro lado, imaginemos que tenemos$2n$funciones diferenciales$g^1, \ldots, g^{2n},$tal que

OP esencialmente pregunta en un comentario:

Hacer$g^1, \ldots, g^{2n},$forman localmente un sistema de coordenadas? Por la palabra localmente queremos decir: Dado un punto fijo$x_{(0)}\in V$, ¿existe una vecindad suficientemente pequeña de$x_{(0)}$, tal que$g^1, \ldots, g^{2n},$podría servir como funciones de coordenadas allí?

Respuesta: En general, la respuesta es No, pero si, por ejemplo, asumimos adicionalmente que la matriz jacobiana

es invertible en el punto fijo$x_{(0)}$, entonces la respuesta es Sí por el teorema de la función inversa .

Contraejemplo: Let$n=1$, es decir, el espacio de fase$V$es$2$-dimensional con coordenadas$(x^1,x^2)=(q,p)$. Sea el punto fijo$x_{(0)}=(0,0)$. Dejar$g^1(q,p)=q^2$y$g^2(q,p)=p$. El mapa$x\mapsto$ $g(x)$no es invertible en$x_{(0)}=(0,0)$, de modo que$g^1$y$g^2$no pueden servir como funciones de coordenadas. Por otro lado, claramente sólo una función constante$f$tendría (idénticamente) paréntesis de Poisson que se desvanecen con$g^1$y$g^2$.

Cualquier observable$H$en mecánica clásica define un flujo de estados considerándolo como un hamiltoniano. Este flujo actúa sobre los observables.$f$por$df/dt = \{H,f\}$(esta es la ecuación de Hamilton). La idea de un conjunto completo de observables es que es un conjunto para el cual cualquier observable con flujo constante para todos los miembros del conjunto (es decir, la conmutación de Poisson con el conjunto) es constante. Intuitivamente, estos flujos se mueven por todo el espacio de fase, por lo que si$f$no es constante, el flujo de$f$a lo largo de uno de los observables en el conjunto completo puede detectar esto.

Estas funciones no tienen que formar coordenadas.

EDITAR: Para complementar el contraejemplo de QMechanic, aquí hay un contraejemplo compacto: considere la esfera 2 con su forma simpléctica ordinaria y las funciones$\mathrm{cos} 2\theta$,$\mathrm{sin}\phi$, y$cos \phi$, dónde$\theta$es el ángulo polar, y$\phi$es el ángulo acimutal. Estos son simétricos a lo largo del ecuador, por lo que no distinguen puntos, pero está bastante claro que son un conjunto completo.

La definición de Blau es un análogo clásico del lema de Schur. El razonamiento detrás de esta definición es el requisito de que, bajo un mapa de cuantización fiel que lleva funciones en el espacio de fase a operadores en algún espacio de Hilbert, la representación del álgebra de los observables cuánticos es irreducible. El requisito de irreductibilidad tiene un origen físico ya que las representaciones irreducibles corresponden a sistemas cuánticos "únicos" y si una representación es reducible, entonces puede reducirse a subsistemas independientes. Por supuesto, debido al teorema de Groenwold-Van Hove, en general, no existe tal mapa de cuantización. Por lo general, renunciamos a la fidelidad en aras de la irreductibilidad.