¿Muestra el diagrama de Minkowski que el tiempo pasa más rápido en el marco de referencia "en movimiento"?

Como han señalado otros, la geometría del diagrama del espacio-tiempo no es euclidiana sino minkowskiana. (El diagrama de posición versus tiempo de PHY 101 tampoco es euclidiano... la hipotenusa análoga tiene una "longitud" igual a la del cateto temporal).

Aquí hay algunas maneras diferentes de visualizar esto. El ejemplo de Takeuchi usa v=(1/2)c. A continuación usaré v=(3/5)c.

• Usando papel cuadriculado de dos observadores , donde los ejes del observador "en movimiento" se obtienen mediante una Transformación de Lorentz de los ejes del observador en casa. (No estoy seguro de qué tan bien la diapositiva anterior de Takeuchi motiva la diapositiva que vinculaste).
  
• Usando papel cuadriculado hiperbólico , análogo al papel de coordenadas polares.
  En los puntos de intersección entre la línea de universo del observador en movimiento y la familia de hipérbolas, las tangentes determinan los ejes del observador en movimiento en el papel cuadriculado de dos observadores.
  
• Usando el método de cálculo k de Bondi : el efecto Doppler con el principio de relatividad. El tiempo transcurrido entre las emisiones de señales luminosas es proporcional al tiempo transcurrido entre las recepciones.
  Cuando el observador local es el emisor, la constante de proporcionalidad es$k_{home}$.
  Cuando el observador en movimiento es el emisor, la constante de proporcionalidad es$k_{mov}$.
  Pero el principio de la relatividad requiere que estos factores sean iguales... así que llámalos a ambos$k$.
  De mi ejemplo, si el período de emisión es$T=2$, el período recibido es$kT$(dónde$k$aún no se conoce ni se mide).
  Cuando Home recibe la señal reflejada, ese período debe ser$k(kT)$cuyo hogar mide [para el caso de v=(3/5)c] como 8.
  Así$k^2=4$o$k=2$, por lo que el tiempo transcurrido a lo largo del segmento del observador en movimiento es$kT=4$. (En general,
  $k=\sqrt{\frac{1+(v/c)}{1-(v/c)}}$. Con$v=(1/2)c$, tenemos$k=\sqrt{3}$.)
  
• Usando mi nueva visualización que involucra papel cuadriculado rotado , lo que hace que sea más fácil visualizar los tics de un reloj de luz, tal como lo trazan las señales de luz en el reloj de luz (donde cada tic ocupa la misma área en el diagrama, según lo necesite la Transformación de Lorentz). Este enfoque puede motivarse utilizando el método de Bondi.
  

El plano xt no es euclidiano, existe en el espacio hiperbólico.

La hipotenusa del triángulo rectángulo es en realidad menos tiempo que el eje vertical. Si fueran 45 grados, iría a la velocidad de la luz y experimentaría cero tiempo propio.

La dilatación del tiempo relacionada con la velocidad significa que el tiempo pasa más lento en un marco de referencia en movimiento.

Esto es fácilmente visible en la paradoja de los gemelos , donde el gemelo que viaja envejece más lentamente que el gemelo que se quedó en casa.

La paradoja de los gemelos requiere un cambio en el movimiento del gemelo que viaja para que ambos se encuentren nuevamente. Pero también se puede demostrar por medio de la ecuación de tiempo propia :

En este ejemplo, usted es el observador que mide el tiempo de coordenadas t de varios objetos en movimiento. Entonces el momento adecuado$\tau$depende del factor de Lorentz dependiente de la velocidad$\gamma$, una velocidad relativa más alta produce un tiempo propio más bajo, es decir: el tiempo va más lento para los objetos en movimiento. El caso extremo son los fenómenos similares a la luz (v=c), donde el tiempo propio se reduce a cero.