Movimiento perpetuo en un dipolo eléctrico restringido a una trayectoria circular con una carga en el centro

Escribamos el campo eléctrico,$\vec E$

$$\vec E = \dfrac {kQ}{r^2}\hat r$$

Entonces, conocemos la fuerza sobre el dipolo,

$$\begin{align*}\vec F &=(\vec p \cdot \nabla) \vec E\\&=\dfrac {kQ}{r^3} \dfrac{ \partial }{\partial \theta}\hat r\\&=\dfrac {kQ\vec p}{r^3}\\\Rightarrow \vec F &= \dfrac {Q}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{\vec p}{R^3}\end{align*}$$

Ahora, para la segunda parte, para que el dipolo vaya en sentido contrario a las agujas del reloj,$\hat\theta$dirección, debe haber una aceleración centrípeta y un par en el sentido de las agujas del reloj siempre que la fuerza de restricción y la carga$Q$respectivamente. Y esto se opondría a la fuerza tangencial "hacia adelante", ralentizando así el dipolo (o más bien impidiendo que comience a girar)

Griffith lo expresa maravillosamente como:

Para mantener el dipolo girando en un círculo, debe haber una fuerza centrípeta ejercida por la pista (también podemos considerar que actúa en el centro del dipolo, y es irrelevante para el problema), y mantenerlo apuntando en la dirección tangencial debe haber un momento de torsión (que podríamos modelar mediante fuerzas radiales de igual magnitud que actúan en los dos extremos). En efecto, si el dipolo tiene la orientación indicada en la figura y se mueve en el$\hat\theta$dirección, el par ejercido por$Q$es en el sentido de las agujas del reloj, mientras que la rotación es en el sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que estas fuerzas de restricción en realidad deben ser mayores que las fuerzas ejercidas por Q, y la fuerza neta estará en la dirección "hacia atrás", lo que tiende a reducir la velocidad del dipolo. [Si el movimiento está en el$−\hat\theta$dirección, entonces las fuerzas eléctricas dominarán, y la fuerza neta estará en la dirección de p, pero esto nuevamente tenderá a disminuir la velocidad.]