¿Cuál es la dirección de una partícula acelerada debido a una variación del campo magnético?

Sea un ion de carga$q$y masa$m$recorrer una órbita circular de radio$R$bajo la influencia de un campo magnético uniforme$\mathbf{B}=B(r)\,\hat{\boldsymbol{z}}$, dónde$r$es la distancia desde el eje de simetría y$z$el eje de 'altura' o 'vertical' ( básicamente un betatrón ). Estoy un poco confundido, he logrado demostrar que cuando el campo magnético aumenta en magnitud, el campo eléctrico inducido es

$$E=-\frac{R}{2}\frac{d\langle{B}\rangle}{dt}\hspace{0.5in}\text{where}\hspace{0.5in}\langle{B}\rangle=\frac{1}{\pi{R}^2}\int_0^R{B}(r)\,2\pi{r}\,dr$$ es decir $\langle{B}\rangle$es el promedio espacial de $B(r)$. Y por lo tanto, que el campo eléctrico introduce una fuerza $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$en el ion que lo acelera como $$\mathbf{a}=-\frac{qR}{2m}\frac{d\langle{B}\rangle}{dt}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}$$ dónde $\theta$es la coordenada azimutal. Lo que me molesta es el signo menos , porque sé que en un betatrón un ion se acelera (positivamente, no como 'desacelerar') cuando aumenta el campo magnético. Pensé en averiguar cuál era la dirección de la velocidad del ion cuando el campo no cambiaba, y encontré a partir de la fuerza de Lorentz que, en general, para cualquier carga (positiva o negativa) $q$, $$\mathbf{F}=-qvB\,\hat{\mathbf{r}}\;\Longrightarrow\;\mathbf{v}=-\mathrm{sgn}(q)v\,\hat{\boldsymbol{\theta}}$$ Ahora no sé si esta última expresión es cierta, no la he encontrado por ningún lado y la función signo me parece rara; Honestamente, después de varios intentos, solo logré hacer la dirección tanto de la velocidad (en un estado invariable $\mathbf{B}$) y la aceleración (al cambiar $\mathbf{B}$) ajustarse de modo que el ion aumente o disminuya su velocidad ante un aumento o una disminución, respectivamente, del campo magnético. Me gustaría saber si esto es cierto y/o si hay una forma más simple o directa de mostrar esto. Gracias de antemano.