¿Este problema en el libro E&M de Griffiths es defectuoso?

Hay un problema en la "Introducción a la electrodinámica" de Griffiths cuyas "soluciones" disponibles en línea parecen perder el punto por completo. El problema exacto del que estoy hablando es el problema 5.12 (4ª edición) o el problema 5.38 (3ª edición).

Voy a recapitular el problema aquí:

Dado que las corrientes paralelas se atraen entre sí, es posible que se le haya ocurrido que la corriente dentro de un solo cable, debido enteramente a los electrones móviles, debe concentrarse en una corriente muy delgada a lo largo del cable. Sin embargo, en la práctica, la corriente normalmente se distribuye bastante uniformemente por el cable. ¿Cómo explicas esto?

De acuerdo, hasta ahora el problema parece pedirnos que mostremos que, de hecho, contrariamente a nuestra conjetura inicial, los electrones móviles se distribuyen uniformemente a lo largo de la sección transversal del cable. Pero luego el problema pasa a decir lo siguiente:

Si las cargas positivas uniformemente distribuidas (carga-densidad ρ + ) están "clavadas", y las cargas negativas (carga-densidad ρ − ) moverse a gran velocidad v (y ninguno de estos depende de la distancia desde el eje) , demuestre que ρ − = − ρ + γ 2 , dónde γ = 1 / 1 − ( v / C ) 2 .

¡¿Qué?! ¡En el texto en negrita, Griffiths (aparentemente) derrotó el propósito de este problema!

Mi pregunta es, ¿se puede demostrar clásicamente que, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell (y los principios de simetría), la densidad de carga de los electrones y/o la velocidad de esos electrones es independiente de la distancia radial desde el eje central del cable? He intentado mostrarlo, pero solo puedo terminar con la siguiente ecuación:

v ( s ) C 2 ∫ 0 s ρ ( s ′ ) v ( s ′ ) s ′ d s ′ = ∫ 0 s ( ρ + + ρ − ( s ′ ) ) s ′ d s ′

A partir de aquí, si asumo ρ − ( s ) y v ( s ) son constantes, entonces el resultado ρ − = − ρ + γ 2 sigue fácilmente.

NOTA: Este no es un problema de tarea para una clase mía, pero incluso si lo fuera, creo que la pregunta sigue siendo válida.

EDITAR:

Si suponemos que la velocidad es independiente de la distancia radial desde el centro, podemos demostrar que esto implica ρ − ( s ) = ρ − (constante).

v ( s ) C 2 ∫ 0 s ρ ( s ′ ) v s ′ d s ′ = ∫ 0 s ( ρ + + ρ − ( s ′ ) ) s ′ d s ′ ⟹ 0 = ∫ 0 s ( ρ + + ( 1 − v 2 C 2 ) ρ − ( s ′ ) ) 2 π s ′ d s ′         (para todos  s ) ⟹ 0 = ρ + + ( 1 − v 2 C 2 ) ρ − ( s ) ⟹ ρ − ( s ) = − γ 2 ρ +         (¡constante!)

Tal vez me equivoque, pero creo que el punto del problema es mostrar que la densidad radial es constante. Si las corrientes paralelas se atraen, entonces debería haber una mayor densidad en el núcleo. La velocidad que depende de la distancia desde el centro no debería importar. Ni la distribución de carga positiva.
@Diego Si ese era el punto del problema, ¿por qué Griffiths continuaría suponiendo que la densidad radial es constante? Al final, se afirma que la densidad radial no depende de la distancia radial, y lo mismo ocurre con la velocidad. Mi pregunta es, ¿a través de qué justificación se puede demostrar que esto es cierto? Ver mi edición.
Pero supuso que solo la densidad de carga positiva era constante. Piense en ello como los átomos fijados en el alambre de cobre, pero los electrones son libres de entrar y salir.
@Diego No asumió que solo la densidad de carga positiva fuera constante, y un vistazo rápido a las soluciones disponibles en línea lo demuestra. Siguiendo el consejo de garyp, no vincularé el manual de soluciones real, pero puede buscarlo fácilmente en Google (por ejemplo, intente "introducción de griffiths a soluciones electrodinámicas")
@garyp No sabía que era un problema vincular copias ilegales de un libro aquí en SE. Lo siento.
Sé que esto es antiguo, así que tal vez no tenga sentido responder aquí, pero por si acaso... en Physics SE no tenemos una regla absoluta contra la vinculación a copias ilegales. Sin embargo, está algo mal visto; la comunidad lo ve como un poco hortera. Es mejor reemplazar dicho enlace con un enlace a una página oficial del libro (por ejemplo, el sitio web del editor), oa una copia legal, si está disponible. Si ninguno de ellos existe, puede vincular a una copia ilegal o no vincularlo en absoluto. (Tenga en cuenta que el punto es identificar la fuente, no asegurarse de que las personas puedan obtener una copia).
@DavidZ Es interesante que incluso estuvieras mirando esta vieja pregunta. Aunque te entiendo totalmente.
@ArturodonJuan Sí, solo lo vi porque había una bandera en otro comentario.

Respuestas (1)

El punto del problema (y esto no está bien explicado en Griffiths) es este:

Si asume las densidades ρ + y ρ − son uniformes, se puede deducir que ρ − = − γ 2 ρ + . Una vez que haya encontrado esto, puede probar que la fuerza neta sobre un electrón que viaja a lo largo del cable es cero. La atracción magnética hacia el centro está exactamente equilibrada por la repulsión eléctrica provocada por el hecho de que ρ − Es mas grande que ρ + . Esto demuestra que el arreglo ρ − = constante es un arreglo de equilibrio, ya que en este arreglo la fuerza neta sobre cualquier carga es cero. Además, es un equilibrio estable , ya que el aumento de la densidad de electrones en el centro hará que los electrones se alejen del centro y viceversa. Entonces, este problema es realmente solo el primer paso para mostrar por qué la densidad es uniforme, pero no asume su conclusión.

Lo que dices tiene sentido, pero ¿qué pasa con otros arreglos de equilibrio posibles? ¿Cómo se puede decir definitivamente que no existen otros estados de equilibrio? Mi intuición física me dice que de hecho es el único estado de equilibrio (físico), pero mi intuición física no siempre me da la respuesta correcta.
Y además, si ese era el propósito del problema, ¿cómo es que puedo probarlo tan fácilmente (después de asumir que el perfil de velocidad es constante)? La suposición es superflua y eludida.
Sí, esa es una crítica justa. Pero deberías tener esa crítica al rigor en Griffiths en general. No se supone que este problema demuestre que es el único equilibrio posible, solo da un argumento de plausibilidad. Creo que el objetivo real es hacerte pensar en la electrodinámica relativista.
¿Este problema en el libro E&M de Griffiths es defectuoso?
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