¿La ecuación de Poisson 1-D tiene potenciales monótonos si ρ=ρ(ϕ(z))ρ=ρ(ϕ(z))\rho=\rho(\phi(z))?

Question

¿La ecuación de Poisson 1-D tiene potenciales monótonos si ρ=ρ(ϕ(z))ρ=ρ(ϕ(z))\rho=\rho(\phi(z))?

Física
plasma-física
electromagnetismo
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electrodinámica-clásica

Ánodo

Estoy resolviendo la ecuación de Poisson 1-D:

\frac{d^{2} ϕ}{d z^{2}} = - 4 π ρ (ϕ)

$\frac{d^2 \phi}{dz^2}=-4\pi\rho(\phi)$

con el requisito adicional de que $\rho(\phi(z=0))=0$ . Si comienzo multiplicando cada lado por $\frac{d\phi}{d z}$ e integramos de 0 a $\phi '$ yo obtengo

\frac{1}{2} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} = - 4 π \int_{0}^{ϕ^{'}} ρ (ϕ) \frac{d ϕ}{d z} d z

$\frac{1}{2}\left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2=-4\pi\int_0^{\phi '}\rho(\phi) \frac{d\phi}{d z} dz$

así que tengo

\frac{1}{2} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} = - 4 π \int_{0}^{ϕ^{'}} ρ (ϕ) d ϕ

$\frac{1}{2}\left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2=-4\pi\int_0^{\phi '}\rho(\phi) d\phi$

Debido al cuadrado del lado izquierdo, solo obtendré soluciones cuando el lado derecho sea positivo. Encuentro este requisito extraño porque siempre obtendrás que la derivada del potencial nunca cambia de signo y siempre es monótona cuando la densidad de carga se escribe en la forma $\rho(\phi)$ . ¿Estoy haciendo algo mal aquí o he malinterpretado el resultado?

Más específicamente, si proporciono una densidad de carga que cambia de signo con $\phi$ ¿Seré incapaz de encontrar una solución?

También para cualquiera que esté familiarizado con esto, esta primera serie de pasos se usa en la derivación de la ley de Child-Langmuir para el espesor de una cubierta de plasma, pero en el problema de la cubierta de iones $\rho$ no cambia de signo (Ver el Criterio de Bohm si está interesado).

qmecanico

Sugerencia para la pregunta (v1): si asumimos la primera ecuación, entonces falta una 'constante' de integración en la segunda ecuación. Expresado de manera equivalente: falta el límite inferior de la antiderivada.

Ánodo

Si tengo una integral definida, ¿por qué hay una constante de integración?

Ánodo

Ah, probablemente olvidé mencionar eso.

ρ (0) = 0

$\rho(0)=0$ lo cambiaré

qmecanico

No hay necesidad de asumir

ρ (0) = 0

$\rho(0)=0$ . El problema está en otra parte.

Ánodo

¿Podrías explicar un poco más? La última vez que hice esto en clase, multiplicamos por

d ϕ / d z

$d\phi/dz$ e integrado por partes por lo que después de que el LHS debe ser

1 / 2 [(d ϕ / d z)_{ϕ = ϕ^{'}}^{2} - (d ϕ / d z)_{ϕ = 0}^{2}]

$1/2 [(d\phi/dz)^2_{\phi=\phi'}-(d\phi/dz)^2_{\phi=0}]$

Nikolaj-K

Para

ρ (ϕ) := 0

$\rho(\phi):=0$ la solucion es

ϕ (z) = a \cdot z + b

$\phi(z)=a·z+b$ y la ecuacion dice

0 = 0

$0=0$ . Dices que te "integras" y terminas con

\frac{1}{2} a^{2} = 0

$\frac{1}{2}a^2=0$ . Magia.

Valter Moretti

Esta no es la ecuación de Poisson. En la ecuación de Poisson

ρ

$\rho$ es una función dada y no una función de

ϕ

$\phi$ .

Ánodo

@NikolajK El requisito no era

ρ (ϕ) = 0

$\rho(\phi)=0$ fue

ρ (ϕ = 0) = 0

$\rho(\phi=0)=0$

Nikolaj-K

@Anode: ¿Entonces?

ρ (ϕ) := 0

$\rho(\phi):=0$ cumple

ρ (ϕ = 0) = 0

$\rho(\phi=0)=0$ . Entonces estoy señalando que para el caso trivial, la relación concluida ya está rota. Esa es una herramienta general para investigar matemáticas: si es escéptico de un resultado obtenido con parámetros libres, regrese y elija ejemplos particulares para esos parámetros para ver en qué punto de la derivación el sistema falla.

Ánodo

@V.Moretti

ϕ

$\phi$ es una función libre de z que estoy resolviendo dada una densidad de carga que depende del potencial.

Ánodo

@NikolajK ¿Qué relación concluida se rompe? En el caso trivial \rho no cambia de signo. no es de extrañar que

ϕ (z) = 0

$\phi(z)=0$ en tu ejemplo

willie wong

Permítanme ampliar el comentario de Qmechanic :

\int_{0}^{z_{0}} \frac{d}{d z} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} d z \neq {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2}

$\int_0^{z_0} \frac{d}{dz}\left( \frac{d\phi}{dz}\right)^2 dz \neq \left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2$ En cambio

\int_{0}^{z_{0}} \frac{d}{d z} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} d z = {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} |_{0}^{z_{0}}

$\int_0^{z_0} \frac{d}{dz}\left( \frac{d\phi}{dz}\right)^2 dz = \left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2 \Big|_0^{z_0}$ La expresión "incorrecta" parece "manifiestamente positiva". El correcto no.

Ánodo

@WillieWong ¿No es esto lo que escribí en un comentario anterior?

willie wong

@Ánodo: no. Usted evaluó en

ϕ = 0

$\phi = 0$ , que es una tontería. Integrando una derivada en

z

$z$ debes evaluar en

z = z_{0}

$z = z_0$ y

z = 0

$z = 0$ . Por cierto, también hace su elección de límite superior de integración "

ϕ^{'}

$\phi'$ " se ve muy extraño. (Además, en este nivel es un problema de cálculo , y tiene relativamente poco que ver con la física ).

Ánodo

@WillieWong Ah, veo el problema. debería haber escrito

ρ (ϕ (z = 0)) = 0

$\rho(\phi(z=0))=0$ .

Nikolaj-K

@Anode: "No sorprende que

ϕ (z) = 0

$\phi(z)=0$ en tu ejemplo". ¿Qué quieres decir con eso? La solución es

ϕ (z) = a \cdot z + b

$\phi(z)=a·z+b$ y estos son validos para todos

a, b

$a,b$ . La conclusión que debes sacar no es que

ϕ (z) = 0

$\phi(z)=0$ sigue.

Respuestas (1)

¿La ecuación de Poisson 1-D tiene potenciales monótonos si ρ=ρ(ϕ(z))ρ=ρ(ϕ(z))\rho=\rho(\phi(z))?

Sugerencia para la pregunta (v1): si asumimos la primera ecuación, entonces falta una 'constante' de integración en la segunda ecuación. Expresado de manera equivalente: falta el límite inferior de la antiderivada.
Si tengo una integral definida, ¿por qué hay una constante de integración?
Ah, probablemente olvidé mencionar eso. $\rho(0)=0$ lo cambiaré
No hay necesidad de asumir $\rho(0)=0$ . El problema está en otra parte.
¿Podrías explicar un poco más? La última vez que hice esto en clase, multiplicamos por $d\phi/dz$ e integrado por partes por lo que después de que el LHS debe ser $1/2 [(d\phi/dz)^2_{\phi=\phi'}-(d\phi/dz)^2_{\phi=0}]$
Para $\rho(\phi):=0$ la solucion es $\phi(z)=a·z+b$ y la ecuacion dice $0=0$ . Dices que te "integras" y terminas con $\frac{1}{2}a^2=0$ . Magia.
Esta no es la ecuación de Poisson. En la ecuación de Poisson $\rho$ es una función dada y no una función de $\phi$ .
@NikolajK El requisito no era $\rho(\phi)=0$ fue $\rho(\phi=0)=0$
@Anode: ¿Entonces? $\rho(\phi):=0$ cumple $\rho(\phi=0)=0$ . Entonces estoy señalando que para el caso trivial, la relación concluida ya está rota. Esa es una herramienta general para investigar matemáticas: si es escéptico de un resultado obtenido con parámetros libres, regrese y elija ejemplos particulares para esos parámetros para ver en qué punto de la derivación el sistema falla.
@V.Moretti $\phi$ es una función libre de z que estoy resolviendo dada una densidad de carga que depende del potencial.
@NikolajK ¿Qué relación concluida se rompe? En el caso trivial \rho no cambia de signo. no es de extrañar que $\phi(z)=0$ en tu ejemplo
Permítanme ampliar el comentario de Qmechanic : $\int_{0}^{z_{0}} \frac{d}{d z} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} d z \neq {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2}$ $\int_0^{z_0} \frac{d}{dz}\left( \frac{d\phi}{dz}\right)^2 dz \neq \left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2$ En cambio $\int_{0}^{z_{0}} \frac{d}{d z} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} d z = {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} |_{0}^{z_{0}}$ $\int_0^{z_0} \frac{d}{dz}\left( \frac{d\phi}{dz}\right)^2 dz = \left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2 \Big|_0^{z_0}$ La expresión "incorrecta" parece "manifiestamente positiva". El correcto no.
@WillieWong ¿No es esto lo que escribí en un comentario anterior?
@Ánodo: no. Usted evaluó en $\phi = 0$ , que es una tontería. Integrando una derivada en $z$ debes evaluar en $z = z_0$ y $z = 0$ . Por cierto, también hace su elección de límite superior de integración " $\phi'$ " se ve muy extraño. (Además, en este nivel es un problema de cálculo , y tiene relativamente poco que ver con la física ).
@WillieWong Ah, veo el problema. debería haber escrito $\rho(\phi(z=0))=0$ .
@Anode: "No sorprende que $\phi(z)=0$ en tu ejemplo". ¿Qué quieres decir con eso? La solución es $\phi(z)=a·z+b$ y estos son validos para todos $a,b$ . La conclusión que debes sacar no es que $\phi(z)=0$ sigue.

Valter Moretti · Answer 1

El sistema resuelve las ecuaciones de Euler-Lagrange del Lagrangiano:

L (ϕ, \frac{d ϕ}{d z}) = \frac{1}{2} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} - 4 π \int_{0}^{ϕ (z)} ρ (s) d s

$L\left(\phi, \frac{d\phi}{dz}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2 - 4\pi \int_0^{\phi(z)} \rho(s) ds$ ya que las ecuaciones de Lagrange correspondientes son:

\frac{d^{2} ϕ}{d z^{2}} = - 4 π ρ (ϕ) .

$\frac{d^2\phi}{dz^2}= -4\pi \rho(\phi)\:.$ Como el lagrangiano no depende explícitamente del "tiempo"

z

$z$ , la "energía" se conserva a lo largo de las soluciones (variando

z

$z$ ):

\frac{1}{2} {(\frac{d ϕ}{d z})}^{2} + 4 π \int_{0}^{ϕ (z)} ρ (s) d s = mi .

$\frac{1}{2}\left(\frac{d\phi}{dz}\right)^2 + 4\pi \int_0^{\phi(z)} \rho(s) ds =E\:.$ El constante

E

$E$ se puede determinar a partir de las condiciones iniciales, por ejemplo

ϕ (0)

$\phi(0)$ y

d ϕ / d z |_{z = 0}

$d\phi/dz|_{z=0}$ . Una vez

E

$E$ ha sido fijada, la ecuación se convierte en:

\frac{d ϕ}{d z} = \pm \sqrt{2 mi - 8 π \int_{0}^{ϕ (z)} ρ (s) d s} .

$\frac{d\phi}{dz} = \pm \sqrt{2E - 8\pi \int_0^{\phi(z)} \rho(s) ds}\:.$ El signo, de nuevo puede ser fijo desde la condición inicial ya que es la de

d ϕ / d z |_{z = 0}

$d\phi/dz|_{z=0}$ .

Me parece que, al menos localmente, esa ecuación siempre se puede resolver si $\rho$ es continuo, a menos que $d\phi/dz|_{z=0}=0$ , situación que requiere mucho cuidado ya que el RHS (mientras siga siendo continuo) no es localmente Lipschitz en torno a la correspondiente condición inicial $\phi(0)$ .

Tal vez me equivoque con los signos, pero no lo creo: $d/dz( \partial L /\partial (d\phi/dz) )= \partial L/ \partial \phi$ produce tu ecuación...

¿La ecuación de Poisson 1-D tiene potenciales monótonos si ρ=ρ(ϕ(z))ρ=ρ(ϕ(z))\rho=\rho(\phi(z))?

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