Movimiento de proyectil con arrastre sin análisis numérico

Para un proyectil en un plano horizontal, si se dan valores para el ángulo de proyección α , la velocidad inicial tu , alguna constante debido a la fricción k y una aceleración debida a la resistencia del aire de:

a X = k ( v X 2 + v y 2 ) porque ⁡ β
a y = − gramo − k ( v X 2 + v y 2 ) pecado ⁡ β
donde, en un punto dado
β = t a norte − 1 v y v X
¿Es posible calcular a mano los parámetros habituales de tiempo de vuelo, alcance, altura máxima, velocidad de aterrizaje, etc.?

Soy consciente de que uno puede resolver lo anterior mediante el mapeo de una gran serie de posiciones en pequeños incrementos de tiempo usando análisis por computadora , sin embargo, estoy intrigado por saber si existe una solución más elegante que un algoritmo de fuerza bruta.

EDITAR: ¿Hay alguna condición con la que este sistema se aproxime a una solución de forma cerrada? Por ejemplo, hacer α pequeño (y por lo tanto v y ) o cambiando la velocidad de alguna manera.

Resulta que muy pocos problemas realistas (es decir, complejos) tienen soluciones analíticas de "forma cerrada" . Solo una nota al margen (especialmente si está buscando más información en línea): el término general que la gente usaría para resolver este tipo de problema en una computadora es "métodos numéricos", "análisis numérico" o "métodos computacionales" . Inicialmente, la gente hizo esto sin computadoras, haciendo los cálculos a mano, pero aún usando los mismos tipos de métodos y aproximaciones.

Respuestas (1)

No, eso no es posible, en general. Señalaré de pasada que las ecuaciones que propones para describir tu problema no tienen sentido y posiblemente no sean correctas. Aparte del misterioso origen de esos − 7.6 × 10 − 3 coeficientes es extremadamente improbable que los coeficientes para el X - y y - las aceleraciones son las mismas.

Gracias. ¿El segundo término de a y no cambiar de signo con el signo de v y como sen y arctan son funciones impares?
Uy, lo siento, tienes razón. Editaré mi respuesta.
Nota sobre la edición; He cambiado los coeficientes a k
También he añadido otra consulta.
Puede ser útil saber cuál es el propósito para el que desea esto. Si lo que le interesa es la balística, ese es un antiguo problema de la tecnología de guerra, y hay muchas tablas disponibles para todo tipo de proyectiles. Me apresuro a agregar que eso es todo lo que sé sobre el campo de la balística; tendrías que hacer una investigación web sobre esto tú mismo. Aparte de eso, si bien las ecuaciones diferenciales se pueden integrar en forma cerrada para el caso unidimensional, no serían útiles para determinar cosas como el tiempo de vuelo, el alcance o la altura máxima de un proyectil.
Encontré un enlace que brinda una solución de forma cerrada, pero con la simplificación (creo) de relacionar solo componentes paralelos: grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/flteqs.html
Si está interesado en el tipo de rango de parámetros tratado en ese ejemplo de la NASA (creo que lanzar una pelota de béisbol), entonces esas soluciones brindan una aproximación decente, sí. Como dije, en general, deberá indicar la aplicación y el rango de parámetros asociado que tiene en mente para que alguien pueda recomendar una aproximación adecuada.
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