Movimiento circular uniforme de una masa sobre un resorte

Question

Movimiento circular uniforme de una masa sobre un resorte

scwright

Estoy tratando de entender el siguiente problema: una masa está unida a un resorte y se pone en movimiento circular uniforme. Necesitamos resolver cuánto se estira la cuerda, dada la frecuencia de rotación, la longitud del resorte sin estirar, la constante del resorte y la masa del objeto.

Plantearía este problema así (ignorando la direccionalidad de la fuerza del resorte):

F_{s} = k X = metro a_{C} = metro \frac{v^{2}}{r} = metro \frac{(2 π r F)^{2}}{r} = metro r (2 π F)^{2}

$F_s = kx = ma_c = m\frac{v^2}{r}=m\frac{(2\pi rf)^2}{r}=mr(2\pi f)^2$ entonces

k X = metro r (2 π F)^{2}

$kx = mr(2\pi f)^2$

donde k es la constante del resorte, m es la masa, r es el radio de curvatura, f es la frecuencia y x es la cantidad de estiramiento del resorte.

La velocidad (v) es $2 \pi r\over T$ donde T es el periodo y $\frac{1}{T} = f$ .

Entonces, dado que el radio de curvatura es la longitud sin estirar del resorte más la cantidad que se estira, lo sustituiría $r = r_0 + x$ dónde $r_0$ es la longitud sin estirar del resorte. Entonces, podemos resolver para x, lo que da

X = \frac{r_{0} (2 π F)^{2}}{\frac{k}{metro} - (2 π F)^{2}}

$x = \frac{r_0(2\pi f)^2}{\frac{k}{m} - (2\pi f)^2}$

Por lo que puedo decir, esta es la respuesta matemáticamente correcta. Sin embargo, esto por supuesto diverge en

F = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{metro}}

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

que no tiene sentido físico. Además, su respuesta se aproxima $r_0$ para valores mayores que la divergente f. No entiendo este comportamiento en absoluto.

Lo que tendría sentido intuitivo es que el resorte se estire más y más a medida que aumenta la frecuencia. No será una relación lineal, pero no debería ser este lío.

¿Es esto alguna limitación del modelo? ¿Cometí un error en la configuración? ¿Cometí un error matemático? Hay algo aquí que no entiendo. Cualquier idea sería muy apreciada.

Editar: (Incorrecto, ver edición 2) Bien, me acabo de dar cuenta de que podría simplificar aún más:

X = \frac{metro r_{0} (2 π F)^{2}}{k} - r_{0}

$x = \frac{mr_0 (2\pi f)^2}{k} - r_0$

Esto elimina la divergencia, gracias a Dios. Pero todavía hay un punto cero en $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ , lo cual no tiene sentido. Como decía más arriba, lo sensato sería que no tuviera ese $r_0$ al final, así $x(f)$ simplemente una parábola regular. ¿Acabo de cometer un error matemático?

Edit2: Mi simplificación fue incorrecta. La primera ecuación es correcta y diverge en la frecuencia natural.

Gert

Extraño.

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}}

$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ es la frecuencia 'natural' de una masa

m

$m$ subiendo y bajando de un

k

$k$ primavera. No parece tener nada con el problema, que parece haber resuelto correctamente.

Respuestas (3)

Movimiento circular uniforme de una masa sobre un resorte

Extraño. $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ es la frecuencia 'natural' de una masa $m$ subiendo y bajando de un $k$ primavera. No parece tener nada con el problema, que parece haber resuelto correctamente.

jerbo sammy · Answer 1

Su "simplificación" es incorrecta. Tu primera ecuación es correcta:

X = \frac{r_{0}}{\frac{k}{metro ω^{2}} - 1}

$x=\frac{r_0}{\frac{k}{m\omega^2}-1}$ dónde

ω = 2 π f

$\omega=2\pi f$ . esto diverge

(x \to \infty)

$(x \to \infty)$ como

\frac{k}{m ω^{2}} \to 1

$\frac{k}{m\omega^2} \to 1$ desde arriba.

Lo que esta ecuación le dice es que el resorte no es lo suficientemente rígido para que se produzca un movimiento circular por encima de la frecuencia crítica. $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ .

Para una frecuencia angular fija $\omega$ , la fuerza centrípeta requerida $F=m\omega^2 r$ es proporcional al radio $r$ (líneas rojas en el diagrama). La pendiente de esta recta es $m\omega^2$ . la fuerza del resorte $F=kx=k(r-r_0)$ también es lineal, con una pendiente de $k$ (línea azul). Donde las dos líneas se cruzan, la fuerza del resorte es suficiente para proporcionar la fuerza centrípeta requerida en este radio.

Como la frecuencia angular $\omega$ aumenta la fuerza centrípeta (línea roja) se vuelve más empinada y el punto de cruce se mueve más hacia la derecha. El resorte se estira y el radio de la órbita circular aumenta. Como $m\omega^2 \to k$ la línea roja se vuelve paralela a la línea azul. El punto de cruce se aleja hasta el infinito, y el resorte se estira sin límite o hasta que se rompe. Cuando $m\omega^2 > k$ las dos líneas nunca se cruzan, porque la línea roja es más inclinada que la línea azul. El movimiento acotado (ya sea circular o elíptico) ya no es posible.

Sería bueno mencionar lo que sucede físicamente: cuando la frecuencia de rotación está por encima de la frecuencia crítica, el resorte se estira sin límite (o hasta que se rompe).

Henrikas · Answer 2

Lo que debe tener en cuenta al pensar en su respuesta es que $F=-k(x-x_0)$ es solo una aproximación cuando las desviaciones de la longitud restante son pequeñas . De hecho, a medida que aumentan las desviaciones, existen otros términos, por lo que bien podría escribirse como:

F = a (X - X_{0}) + b (X - X_{0})^{2} + C (X - X_{0})^{3} + . . . . .

$F=a(x-x_0)+b(x-x_0)^2+c(x-x_0)^3+.....$

Lo que tienes aquí es la frecuencia de resonancia de dicho sistema. Teóricamente, debería ser infinito a la frecuencia resonante, pero en realidad existen imperfecciones inevitables en el resorte, términos de orden superior a considerar, etc., que causan amortiguamiento y, aunque el estiramiento es máximo a dicha frecuencia, no es del todo infinito.

TazónDeRojo · Answer 3

que no tiene sentido físico.

¿Por qué no? Estás tratando de igualar dos fuerzas. Uno de ellos (fuerza de resorte) es lineal con la distancia. La otra (fuerza centrípeta) es cuadrática con la distancia y la frecuencia. A medida que aumenta la frecuencia requerida, hay un punto más allá del cual no puede igualarlos en ningún momento. $x$ . Como $x$ aumenta, la fuerza centrípeta requerida aumenta más rápido que la lineal, por lo que nunca se pone al día. Un resorte ideal en esta situación no podría mantener la rotación más rápido que esa frecuencia.

Tu segunda ecuación no parece ser equivalente. Si $f$ es cero, entonces $x$ debe ser cero. En esa otra ecuación, cuando $f = 0$ entonces $x= -r_0$ .

Movimiento circular uniforme de una masa sobre un resorte

scwright

Gert

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jerbo sammy

marca h

Henrikas

TazónDeRojo

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