Momento dipolar magnético

He estado tratando de abordar este problema durante más de un día y agradecería alguna ayuda. El problema es probar que el momento dipolar magnético de una bola esférica de masa$m$y carga$Q$, cuya carga se distribuye uniformemente solo en su superficie, girando alrededor de su centro, es igual a

$$\vec{\mu} = \frac{5Q}{6m} \vec{L}.$$ Mi razonamiento es este: conocemos la fórmula para el momento dipolar en términos de la densidad de carga superficial $K$, cual es $$\vec{\mu} = \frac{1}{2} \oint \vec{r} \, ' \times \vec{K} \, dA.$$ Ok, ahora tenemos que calcular estas cantidades. Bueno, por definición $\vec{K} \equiv \sigma \vec{v}$, dónde $\sigma$es la densidad de carga superficial. Usando esto podemos escribirlo como $$\begin{align} \vec{K} &= \sigma \vec{v} \\ &= \sigma \vec{\omega} \times \vec{r} \\ &= \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi}. \end{align}$$ A continuación, sabemos que $\vec{r} \, ' = R\hat{r},$ya que lo que estamos integrando solo queda en la superficie. Ahora, todo lo que hacemos es tomar el producto cruz: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{1}{2} \oint R\hat{r} \times \sigma \omega R \sin \theta \hat{\phi} \, dA \\ &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin \theta (-\hat{\theta}) \, dA.\\ \end{align}$$ Sabemos que el momento dipolar estará en el $z$dirección porque esa es la dirección del momento angular, por lo que podemos reescribir $\hat{\theta}$en nuestra ecuación anterior, tomando sólo el $z$componente. $\hat{\theta} = \cos \theta \cos \phi \hat{i} + \cos \theta \sin \phi \hat{j} - \sin \theta \hat{k}$y así obtenemos $$\vec{\mu} = \frac{\sigma \omega R^2}{2} \oint \sin^2 \theta \hat{k} \, dA$$ Lo sabemos $dA = R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$, y nuestros límites de integración son de $0$a $2 \pi$para $\pi$y de $0$a $\phi$para $\theta$, por lo que nuestro resultado final es: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{\sigma \omega R^2}{2} \int_{\phi = 0}^{2 \pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^2 \theta \hat{k} (R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi) \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^3 \theta \hat{k} \, d\theta \, d\phi \\ &= \frac{\sigma \omega R^4}{2} \frac{4}{3} 2 \pi \hat{k} \\ &= \frac{4}{3} \sigma \omega \pi R^4 \hat{k}. \end{align}$$ Por último, pero no menos importante, debemos poner esto en la forma correcta como lo pide el problema. Lo sabemos $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$y $\vec{L} = I_{sphere} \vec{\omega} = \frac{2}{3} mR^2 \omega \hat{k},$ya que la velocidad angular está dirigida en el $z$dirección. Para terminar, conectamos estos valores y obtenemos: $$\begin{align} \vec{\mu} &= \frac{4}{3} \frac{Q}{4\pi R^2} \omega R^4 \pi \hat{k} \\ &= \frac{Q\omega R^2}{3} \hat{k} \\ &= \frac{Q}{3} \frac{3\vec{L}}{2m} \\ &= \boxed{\frac{Q}{2m} \vec{L}} \end{align}$$ Vaya ... Una vez más, esta no es la respuesta correcta y no puedo encontrar ninguna falla, ¡así que agradecería mucho la ayuda! Gracias de antemano como siempre.