Relación entre momento magnético y momento angular -- teoría clásica

La forma más fácil de ver la igualdad es usar una fórmula más general para el momento dipolar magnético de una partícula. Para un bucle plano plano de corriente, es cierto que$\mu = IA$, con la dirección del dipolo normal a la espira. Sin embargo, el caso más general es el de una corriente de volumen$\vec{J}$en alguna región finita del espacio. En este caso, la fórmula general para el momento dipolar magnético de la configuración es

$$\vec{\mu} = \frac{1}{2} \int \vec{r} \times \vec{J} \,d^3r.$$ (Demostrar que esto se reduce a la fórmula anterior para un bucle plano plano se deja como ejercicio para el lector). Si además asumimos que la densidad de corriente se debe a un número de partículas con densidad numérica$n$, cargar$q$, velocidad$\vec{v}$y masa$m$, entonces tenemos densidad de corriente$\vec{J} = nq\vec{v}$; de este modo, $$\vec{\mu} = \frac{1}{2} \int \vec{r} \times (n q \vec{v}) \, d^3 r = \frac{q}{2 m} \int \vec{r} \times (n m \vec{v}) \, d^3 r.$$ Pero$n m \vec{v} = \rho \vec{v}$, dónde$\rho$es la densidad de masa de la nube; por lo tanto, la integral anterior se puede reescribir como $$\vec{\mu} = \frac{q}{2 m} \int \rho \vec{r} \times \vec{v} \, d^3 r = \frac{q}{2m} \vec{L}.$$ QED.

La relación anterior se mantendrá siempre que podamos modelar el objeto como hecho de partículas con una relación carga-masa definida, o (lo que es equivalente) siempre que la relación entre la densidad de carga y la densidad de masa sea constante en todo el cuerpo. . La forma más fácil de que esto suceda es, por supuesto, que ambas densidades sean constantes.

La dirección del momento magnético es perpendicular al plano de la espira. Viendo que el momento angular también es perpendicular a ese plano, y habiendo demostrado que sus magnitudes son proporcionales, es todo lo que se necesita para demostrar que dos vectores son proporcionales.

Si insistes, todavía podemos pasar por todo eso formalmente. Una forma de imponer un vector de área perpendicular al plano que contiene el área es definirlo de la siguiente manera:

$$\vec{A} = \vec{a}\times\vec{b}$$ para un paralelogramo definido por los vectores $\vec{a}$y $\vec{b}$.

Consideraremos un bucle plano por el que circula una corriente$I$. Su momento magnético es:

$$\vec{\mu} = I\vec{A}$$

El momento angular de una partícula de masa$m$es:

$$\vec{L} = m\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}$$ $$\vec{L} = \frac{2m}{q}\frac{1}{2}\vec{r}\times q\frac{d\vec{r}}{dt}$$ Ahora, necesitamos observar algunas cosas. $\frac{1}{2}\vec{r}\times d\vec{r}$es el área de un sector de un círculo, con radio dado por $\vec{r}$y una pequeña circunferencia de $d\vec{r}$. Dado que un cargo $q$atravesado $d\vec{r}$a tiempo $dt$, la corriente a través de una superficie en ese punto es $I = \frac{q}{dt}$.

Aquí hay un pequeño calificativo. La corriente debida a una partícula puntual no es uniforme, y nuestra expresión para$\vec{\mu}$idealmente debería ser una integral alrededor del bucle (es decir, con$d\vec{r}$). Pero la corriente se desvanece en cualquier otro lugar, excepto donde está la partícula, de todos modos, y podemos usar el atajo anterior para obtener el momento magnético:

$$\vec{\mu} = I\vec{A} = \frac{1}{2}q\vec{r}\times\frac{d\vec{r}}{dt}$$ Nuestra expresión entonces se convierte en: $$\vec{L} = \frac{2m}{q} \vec{\mu}$$ o $$\vec{\mu} = \gamma\vec{L}$$