¿La relatividad especial restringe los dipolos eléctricos sin masa, pero no los dipolos magnéticos sin masa?

Creo que eso enturbió bastante algunos de los problemas en mi pregunta original sobre los momentos dipolares eléctricos de electrones, así que aquí hay algunos comentarios, y quizás una pregunta implícita adicional, sobre las propiedades de transformación de Lorentz de tales momentos.

El$-\mu\cdot {\bf B}$La energía de un dipolo magnético estacionario que interactúa con un campo magnético se puede escribir como una contribución invariante de Lorentz a un Lagrangiano como$M_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$entonces esto deja en claro que un momento dipolar es naturalmente un Lorentz simétrico sesgado$2$-tensor. En el marco de reposo de partículas, un dipolo magnético tendrá

$$\mu_x= M_{23},\quad\mu_y = M_{31}, \quad \mu_z= M_{12}$$ con $M_{01}=M_{02}= M_{03}=0$.

Para un dipolo eléctrico, una partícula estacionaria tendrá un término de interacción$D_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$con

$$d_x= D_{01}, \quad d_y= D_{02}, \quad d_z= D_{03}$$ con los otros tres componentes desapareciendo

Cuando la partícula poseedora de momento mueve la$M_{0i}$componentes de la$2$-el tensor se volverá distinto de cero y, por lo tanto, un dipolo magnético en movimiento se comporta como si tuviera un momento dipolar eléctrico. De hecho, cuando un bucle de corriente se mueve, o se observa desde un marco en movimiento, parecerá tener cargas positivas y negativas dispuestas de modo que posea un momento dipolar eléctrico que es perpendicular a su dirección de movimiento.

De manera similar, un dipolo eléctrico en movimiento tendrá algo de carácter de dipolo magnético.

Todo esto supone que la partícula tiene un marco de reposo. Una partícula sin masa no tiene un marco de reposo, entonces, ¿qué sucede con los momentos? Mi afirmación sobre el momento de una partícula giratoria cargada sin masa proviene de pensar en tal partícula en una órbita circular de ciclotrón. Su espín (y, por lo tanto, cualquier momento magnético) se ve obligado a apuntar en la dirección del movimiento y, por lo tanto, debe preceder a la frecuencia del ciclotrón.$\Omega_{\rm cyclotron}=eB/E$dónde$E$es la energía. Ahora la tasa de precesión de Larmor es$\Omega_{\rm Larmor}= -B \mu/{\rm spin}$. Entonces, usando esto como una definición del momento efectivo e igualando$\Omega_{\rm Larmor}$con$\Omega_{\rm cyclotron }$tenemos, para espín =1/2,

$$\mu= e/2E.$$
Este resultado también se puede obtener a partir de la descomposición de Gordon de la corriente para un fermión de Weyl, o mediante argumentos más sofisticados [DT Son, N. Yamamoto, arXiv:1210.8158]. Porque el $\bar \psi \sigma_{\mu\nu}\psi$El término de momento magnético anómalo de Pauli-Weiskopf es idénticamente cero para las partículas de Weyl, no hay posibilidad de agregar, a mano, una corrección de momento magnético anómalo a la ecuación de Weyl.

Lo que me queda menos claro es cómo esta definición fenomonológica de tasa de precesión de$\mu$encaja con el momento de 2 tensores$M_{\mu\nu}$. Está oculto en la maquinaria de las ecuaciones de Weyl al igual que el$\mu =eg/2m\times 1/2$con$g=2$El momento magnético de Dirac está oculto en la maquinaria de Dirac.

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Ben dice correctamente que lo anterior no responde a su pregunta. A continuación intento explicar por qué el tema de las transformaciones de Lorentz para dipolos sin masa (ambos magnéticos eléctricos) no es sencillo. Me gustaría extraer una imagen física (el palito de helado de Ben) del formalismo bastante complicado, pero es difícil ver el bosque para los árboles...

Comencemos con la noción de "giro" relativista para un cuerpo extendido con un tensor de energía-momento conservado$T^{ab}$. El tensor de Lorentz que da el momento angular total del cuerpo con respecto al origen es

$$M^{ab}= x^a p^b-x^b p^a+S^{ab},$$ dónde $x^a=(x^0,x^1,x^2,x^3)$es la posición espaciotemporal del cuerpo, $$p^a= \int_{x^0=const} T^{0a}\,d^3x$$ su cuatro impulso y el tensor simétrico sesgado $S^{ab}$es su "momento angular intrínseco" --- este último definido como el momento angular sobre el punto en el cuerpo etiquetado por las coordenadas $x^a$. El problema es que para un objeto giratorio relativista no hay elección natural para este punto. La elección obvia, el "centro de masa" $$X^a_{\rm cm} \equiv \frac 1 E \int_{x^0=const} x^a T^{00}\,d^3x, \quad E=\int_{x^0=const} T^{00}\,d^3x,$$ es un marco dependiente. Cambiar la definición de la "posición" del cuerpo conduce a una mezcla de momento angular entre la parte orbital $x^a p^b-x^b p^a$y la parte giratoria $S^{ab}$. Diferentes opciones conducen a diferentes condiciones en $S^{ab}$. Se muestra en Misner, Thorn y Wheeler (MTW) ​​que si elegimos definir la "posición" como el centro de masa del cuerpo en un marco que se mueve con cuatro velocidades $v^a$entonces $v_aS^{ab}=0$. Si definimos la posición como el centro de masa en el marco de reposo del cuerpo, entonces tenemos la condición $p_aS^{ab}=0$; si elegimos el centro de masa en el marco de laboratorio entonces $S^{0b}_{\rm lab}=0$.
El tensor de Pauli-Lubanski totalmente antisimétrico $$W^{abc}\stackrel{\rm def}{=} p^a S^{bc} + p^bS^{ca}+ p^c S^{ab}$$ tiene la propiedad útil de que no se ve afectado por dicha reorganización. En cuatro dimensiones del espacio-tiempo $W^{abc}$generalmente se vuelve a empaquetar como el pseudovector de Pauli-Lubanski $W^a={\textstyle\frac 16} \epsilon^{abcd}W_{bcd}$pero el 3-tensor es más general ya que tiene las mismas propiedades en todas las dimensiones del espacio-tiempo. Usando $W^{abc}$encontramos que el centro de giro del marco de laboratorio $S^{ab}_{\rm lab}$está relacionado con el giro del centro de masa del marco de reposo $S^{ab}$por
$$S^{ab}_{\rm lab} = \left(S^{ab} - \frac{p^a}{E} S^{0b} - S^{a0}\frac{p^b}{E}\right) = \frac 1 E W^{0ab}.$$ Esta última cantidad es un tensor solo bajo rotaciones ya que su definición está ligada al marco donde $v^a=(1,0, \ldots,0)$.

Ahora veamos cómo se desarrollan estas ideas cuando se aplican a
soluciones de energía positiva.$u_\alpha({\bf k})$de la ecuación de Dirac. Usamos la rapidez$s$en términos de lo cual

$$E=m\cosh s,\\ {\bf k}=\hat {\bf k }\, m \sinh s,\\ {\bf v}= \hat {\bf k}\,\tanh s,$$ y $\gamma \equiv (1-|{\bf v}|^2)^{-1/2}=\cosh s$. La parte de 4 espinores de la solución de onda plana $$\psi_{\alpha, {\bf k}}(x) =u_\alpha({\bf k}) e^{i{\bf k}\cdot {\bf x} - iEt}$$ es entonces $$u_\alpha({\bf k})= \frac{1}{\sqrt{2m(E+m)}}\left[\matrix{(E+m)\chi_\alpha \cr ({\sigma}\cdot {\bf k} )\chi_\alpha}\right] =\left[\matrix{\phantom{({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )} \cosh (s/2)\chi_\alpha \cr \sinh(s/2) ({ \sigma}\cdot \hat {\bf k} )\chi_\alpha}\right].$$ estoy usando la normalización covariante $\bar u_\alpha u_\alpha=1$en el que la densidad de partículas en el haz de ondas planas es $E/m$. La cantidad $\chi_\alpha$es un 2-spinor que determina el estado de espín en el marco de reposo de la partícula.

Ahora considera

$$S^{ab}_{\alpha\beta} = \bar u_\alpha(k)\Sigma^{ab} u_\beta(k),$$ donde el $$\Sigma^{ab}= \frac i 4 [\gamma^a,\gamma^b]$$ son los generadores de 4 espinores de las transformaciones de Lorentz. Esta expresión
define la $\alpha,\beta$elementos de matriz un opertor tensorial de Lorentz $\hat S^{ab}$para los estados de onda plana. En el marco de reposo este tensor coincide con $\chi_\alpha^\dagger { \sigma} \chi_\beta$. Además, la ecuación de Dirac da la condición $k_a \hat S^{ab}=0$por lo que es natural considerar $\hat S^{ab}$como el operador de espín intrínseco sobre el centro de masa en el marco de reposo.

Para las soluciones de onda plana de la ecuación de Dirac tenemos

$$\frac 12 \bar u_\alpha\{\gamma_a, \Sigma_{bc}\} u_\beta = \frac 1m \bar u_\alpha(k_a \Sigma_{bc}+ k_b \Sigma_{ca}+k_c\Sigma_{ab})u_\beta=\frac{1}m (W_{abc})_{\alpha\beta},$$ de modo que $$\frac 1 \gamma u^\dagger_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta = \bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta.$$ es la densidad de espín en un haz con una partícula por unidad de volumen y es el momento angular de una sola partícula alrededor del centro de masa del marco de laboratorio.

Usando la solución explícita$u_\alpha({\bf k})$dado arriba encontramos que

$$\bar u_\alpha \Sigma_{ij} u_\beta= \frac 12 \epsilon_{ijk} \chi^\dagger_\alpha \left(\gamma \sigma_k -\frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)}\right)\chi_\beta, \quad i,j=1,2,3, \\ \bar u_\alpha \Sigma_{0i} u_\beta= \frac1{2m} \chi^\dagger_\alpha (\epsilon_{ijk} k_j \sigma_k)\chi_\beta .$$ Ambas cantidades divergen como $\gamma^{-1}$como $m\to 0$fijo $E$. Esto es natural ya que el marco de descanso está siendo empujado a un impulso infinito. Mientras tanto $$\bar u_\alpha\left(\Sigma_{ij}- \frac{k_i}{E} \Sigma_{0j}- \Sigma_{i0}\frac {k_j}{E}\right) u_\beta= \epsilon_{ijk} \frac 1{\gamma}\left\{\frac 12 \left( \sigma_k + \frac{({\bf k}\cdot { \sigma}) k_k}{m^2(1+\gamma)} \right)_{\alpha\beta}\right\}$$ permanece finito y tiende a la $\alpha,\beta$elementos de la matriz de $\epsilon_{ijk}S_k,$dónde ${\bf S}= (\hat {\bf k }\cdot { \sigma}) \hat {\bf k}/2$es $\hat {\bf k}$veces la helicidad de la partícula. Es esta última cantidad multiplicada por $e/E$eso da el momento magnético definido por la precesión de Larmor de la partícula de Weyl. Las ecuaciones que involucran este momento no serán convencionalmente covariantes como $\hat S^{ab}_{\rm lab}$no es un tensor de Lorentz. Esta es la fuente de la forma inusual en que la invariancia de Lorentz se manifiesta (el "salto lateral") en la mecánica estadística de partículas giratorias sin masa.

El mismo problema debe enfrentarse cuando consideramos el momento dipolar eléctrico de una partícula sin masa. Para una partícula cargada, el momento dipolar eléctrico depende de la "posición" elegida de la partícula. Esta posición cambiará a medida que hagamos una transformación de Lorentz.

Aquí hay una respuesta parcial que amplía su argumento clásico. Usted escribe,

Si nuestro universo tuviera monopolos magnéticos, entonces podríamos recapitular el argumento del palito de helado y convencernos de que los dipolos magnéticos sin masa no podrían tener un momento dipolar en la dirección del movimiento.

Pero no parece que tengamos monopolos magnéticos en este universo, y asumir que los tenemos requiere un replanteamiento muy cuidadoso de los argumentos de simetría. Por ejemplo, dado que los campos eléctricos y magnéticos se comportan de manera diferente bajo la inversión del espacio, creo que la carga magnética debería ser una cantidad pseudoescalar. Estoy seguro de que podríamos pasar todo el día pensando en otras restricciones problemáticas.

La forma de extender su (muy inteligente) argumento sobre los dipolos clásicos no es postular la existencia de cargas que no observamos, sino considerar el comportamiento bajo impulsos de un dipolo magnético clásico: un bucle de corriente. Bajo impulsos, cualquier componente del vector normal a un bucle de corriente que sea paralelo a la velocidad no cambia, mientras que cualquier componente de ese vector normal perpendicular a la velocidad se diluye por la contracción de la longitud de un lado del bucle. Entonces, un bucle de corriente sin masa puede tener un momento dipolar magnético que es paralelo a su momento, pero no perpendicular a su momento.

Tenga en cuenta que su dipolo de palito de paleta no prohíbe un momento dipolar eléctrico que sea perpendicular a la dirección del impulso: la contracción de la longitud solo mata el componente paralelo al impulso.

El momento angular clásico sufre la misma alineación con la dirección de la velocidad bajo impulsos que el momento magnético, más o menos por las mismas razones. Mis amigos en el negocio experimental del momento dipolar eléctrico, durante esta parte de sus charlas, señalan que el momento angular intrínseco de una partícula es su única dirección preferida en el espacio, y que cualquier otra propiedad (psuedo-)vectorial de una partícula debe ser paralela o antiparalela al momento angular. Cuando se les pide una explicación, se refieren al teorema de Wigner-Eckhart o bien dan una analogía clásica en la que un momento dipolar eléctrico perpendicular al eje de giro tiene un promedio de cero.

Supongo que son un par de respuestas parciales. Su argumento clásico está bien siempre que no invente entidades con simetrías diferentes al resto del electromagnetismo clásico. Puede haber un argumento puramente basado en la simetría basado en la forma en que$C,P,T$Las transformaciones y el grado de libertad de giro de los campos surgen del grupo de Lorentz y la simetría bajo impulsos, pero me siento mucho más turbio en ese territorio.