¿Cuál es el significado físico de la transformación dipolar de las ecuaciones de Maxwell?

Question

¿Cuál es el significado físico de la transformación dipolar de las ecuaciones de Maxwell?

Física
momento bipolar
momento magnético
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

linuxfreebird

La pregunta

Dadas las ecuaciones de Maxwell de la forma

\begin{aligned} \bar{\nabla} \times \bar{B} = \frac{4 π}{C} \bar{j} + \partial_{0} \bar{mi} \\ \bar{\nabla} \times \bar{mi} = - \partial_{0} \bar{B} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{B} = 0 \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{mi} = 4 π ρ, \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla}\times \bar{B} = \dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_0 \bar{E} \\ \bar{\nabla}\times \bar{E} = -\partial_0 \bar{B} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{B}=0 \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{E} = 4 \pi \rho, \end{align}$ ¿Cuál es el significado físico de la siguiente transformación de las ecuaciones de Maxwell?

\begin{aligned} (amp-dipolo lejano) & - i \bar{\nabla} \times \bar{GRAMO} + \bar{\nabla} {GRAMO}_{0} = \frac{4 π}{C} \bar{R} + \partial_{0} \bar{GRAMO} \\ (Dipolo de Gauss) & \bar{\nabla} \cdot \bar{GRAMO} - \partial_{0} {GRAMO}_{0} = 4 π R_{0}, \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_0 = \dfrac{4\pi}{c} \bar{R} + \partial_{0}\bar{G} \tag{Amp-Far Dipole} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0}G_0 = 4\pi R_0 , \tag{Gauss Dipole} \end{align}$ dónde

\bar{G} = (i \bar{r} \times \bar{F} - x_{0} \bar{F})

$\bar{G} =(i\bar{r} \times\bar{F}-x_0 \bar{F})$ ,

G_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{F})

$G_0 = (\bar{r} \cdot \bar{F})$ ,

\bar{R} = (ρ c \bar{r} - x_{0} \bar{J} + i \bar{r} \times \bar{J})

$\bar{R} = (\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}+i \bar{r} \times\bar{J})$ ,

R_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{J} - x_{0} ρ c) / c

$R_0 = (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c)/c$ y

\bar{F} = \bar{E} - i \bar{B}

$\bar{F} = \bar{E} - i \bar{B}$ .

Las definiciones

En esta publicación, me refiero a (Amp-Far Dipole) y (Gauss Dipole) como las ecuaciones de dipolo, porque no sé cuáles son los nombres reales o quién publicó por primera vez estas ecuaciones. Me topé con ellos por accidente en lápiz y papel.

$x_0 = ct$ es la variable de tiempo multiplicada por la velocidad de la luz para propósitos de notación condensada.

$\bar{R}$ es la combinación compleja de la densidad de campo del dipolo eléctrico $\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}$ y la densidad de campo del dipolo magnético $\bar{r} \times\bar{J}$ .

$\bar{R}$ se interpreta como una corriente ficticia en las ecuaciones del dipolo (Amp-Far Dipole). La correspondiente densidad de carga ficticia de $\bar{R}$ es $R_0$ , que es igual al producto interno de Minkowski de las cuatro posiciones y las cuatro corrientes.

Consecuencias físicas

Aunque $R_0$ y $\bar{R}$ son carga y corriente ficticias, se conservan como corriente cuando $G_0 = 0$ . Esto implica que $G_0$ rompe carga conservación de la carga ficticia y corriente $R_0$ y $\bar{R}$ .

Una consecuencia interesante de las ecuaciones dipolares es que son idénticas a las ecuaciones de Maxwell cuando $G_0 = 0$ .

Formulación compleja de las ecuaciones de Maxwell

Primero escribo la ley de Ampere, la ley de Faraday y la ley de Gauss en forma compleja

\begin{aligned} (amp-lejos) & - i \bar{\nabla} \times \bar{F} = \frac{4 π}{C} \bar{j} + \partial_{0} \bar{F} \\ (Gauss) & \bar{\nabla} \cdot \bar{F} = 4 π ρ, \end{aligned}

$\begin{align} -i\bar{\nabla} \times \bar{F} = \dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F} \tag{Amp-Far} \\ \bar{\nabla} \cdot \bar{F} = 4\pi \rho \tag{Gauss} , \end{align}$ dónde

\bar{F} = \bar{E} + i \bar{B}

$\bar{F} = \bar{E} + i \bar{B}$ .

Formulación de la Ley Ampere-Faraday en forma de Dipolo

Utilizo la siguiente identidad de cálculo vectorial diferencial

\begin{aligned} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot) + X_{0} (\partial_{0}) = \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot) + \partial_{0} (X_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot) + x_0(\partial_{0}) = \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot) + \partial_{0}(x_0) \end{align}$ para transformar (Amp-Far) en lo siguiente:

\begin{aligned} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times \bar{F}) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot \bar{F}) + X_{0} (\partial_{0} \bar{F}) = \\ \bar{r} \times (i \frac{4 π}{C} \bar{j} + i \partial_{0} \bar{F}) + \bar{r} (4 π ρ) + X_{0} (- i \bar{\nabla} \times \bar{F} - \frac{4 π}{C} \bar{j}) = \\ \frac{4 π}{C} (i \bar{r} \times \bar{j}) + \partial_{0} (i \bar{r} \times \bar{F}) + 4 π (ρ \bar{r}) - i \bar{\nabla} \times (X_{0} \bar{F}) - \frac{4 π}{C} (X_{0} \bar{j}) = \\ \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) + \partial_{0} (X_{0} \bar{F}), \end{aligned}

$\begin{align} \bar{r} \times (\bar{\nabla} \times \bar{F}) + \bar{r} (\bar{\nabla} \cdot \bar{F}) + x_0(\partial_{0} \bar{F}) =\\ \bar{r} \times \left( i\dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + i\partial_{0} \bar{F} \right) + \bar{r} \left(4\pi \rho\right) + x_0\left(-i\bar{\nabla} \times \bar{F} - \dfrac{4\pi}{c} \bar{J}\right) =\\ \dfrac{4\pi}{c} (i\bar{r} \times\bar{J}) + \partial_{0} (i\bar{r} \times\bar{F}) + 4\pi \left( \rho \bar{r} \right) - i\bar{\nabla} \times (x_0\bar{F}) - \dfrac{4\pi}{c} (x_0\bar{J}) =\\ \bar{\nabla} \times (\bar{r} \times \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) + \partial_{0}(x_0 \bar{F}) , \end{align}$ que se reduce a la siguiente expresión

\begin{aligned} - i \bar{\nabla} \times (i \bar{r} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) = \\ \frac{4 π}{C} (ρ C \bar{r} - X_{0} \bar{j} + i \bar{r} \times \bar{j}) + \partial_{0} (i \bar{r} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) . \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \left( i\bar{r} \times \bar{F} - x_0\bar{F} \right) + \bar{\nabla} (\bar{r} \cdot \bar{F}) =\\ \dfrac{4\pi}{c} \left( \rho c \bar{r} - x_0\bar{J} + i \bar{r} \times\bar{J} \right) + \partial_{0} \left( i\bar{r} \times\bar{F} - x_0 \bar{F} \right) . \end{align}$ Se pueden realizar las siguientes sustituciones

\bar{G} = (i \bar{r} \times \bar{F} - x_{0} \bar{F})

$\bar{G} =(i\bar{r} \times\bar{F}-x_0 \bar{F})$ ,

G_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{F})

$G_0 = (\bar{r} \cdot \bar{F})$ , y

\bar{R} = (ρ c \bar{r} - x_{0} \bar{J} + i \bar{r} \times \bar{J})

$\bar{R} = (\rho c \bar{r}-x_0\bar{J}+i \bar{r} \times\bar{J})$ para obtener

\begin{aligned} (amp-dipolo lejano) & - i \bar{\nabla} \times \bar{GRAMO} + \bar{\nabla} {GRAMO}_{0} = \frac{4 π}{C} \bar{R} + \partial_{0} \bar{GRAMO} . \end{aligned}

$\begin{align} -i \bar{\nabla} \times \bar{G} + \bar{\nabla} G_0 = \dfrac{4\pi}{c} \bar{R} + \partial_{0}\bar{G} . \tag{Amp-Far Dipole} \end{align}$

Formulación de la Ley de Gauss en forma de Dipolo

Utilizo la siguiente identidad de cálculo vectorial diferencial

\begin{aligned} - X_{0} (\nabla \cdot) + \bar{r} \cdot (- i \bar{\nabla} \times) = \bar{\nabla} \cdot (i (\bar{r} \times) - X_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} -x_0 (\nabla\cdot) + \bar{r}\cdot (-i\bar{\nabla}\times) = \bar{\nabla} \cdot (i(\bar{r}\times)- x_0) \end{align}$ para transformar (Gauss) en lo siguiente:

\begin{aligned} - X_{0} (\nabla \cdot \bar{F}) + \bar{r} \cdot (- i \bar{\nabla} \times \bar{F}) = \\ - X_{0} (4 π ρ) + \bar{r} \cdot (\frac{4 π}{C} \bar{j} + \partial_{0} \bar{F}) = \\ \frac{4 π}{C} (\bar{r} \cdot \bar{j} - X_{0} ρ C) + \partial_{0} (\bar{r} \cdot \bar{F}) = \\ \bar{\nabla} \cdot (i \bar{r} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}), \end{aligned}

$\begin{align} -x_0 (\nabla\cdot\bar{F}) + \bar{r}\cdot (-i\bar{\nabla}\times\bar{F}) =\\ -x_0 (4\pi \rho) + \bar{r}\cdot \left(\dfrac{4\pi}{c} \bar{J} + \partial_{0} \bar{F}\right) =\\ \dfrac{4\pi}{c} (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c) + \partial_{0} (\bar{r}\cdot\bar{F}) =\\ \bar{\nabla} \cdot (i\bar{r}\times\bar{F} - x_0\bar{F}) , \end{align}$ que se reduce a la siguiente expresión

\begin{aligned} \bar{\nabla} \cdot (i \bar{r} \times \bar{F} - X_{0} \bar{F}) - \partial_{0} (\bar{r} \cdot \bar{F}) = \frac{4 π}{C} (\bar{r} \cdot \bar{j} - X_{0} ρ C) . \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla} \cdot (i\bar{r}\times\bar{F} - x_0\bar{F}) - \partial_{0} (\bar{r}\cdot\bar{F}) = \dfrac{4\pi}{c} (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c) . \end{align}$ Se pueden realizar las siguientes sustituciones

R_{0} = (\bar{r} \cdot \bar{J} - x_{0} ρ c) / c

$R_0 = (\bar{r}\cdot\bar{J} - x_0\rho c)/c$ para obtener

\begin{aligned} (Dipolo de Gauss) & \bar{\nabla} \cdot \bar{GRAMO} - \partial_{0} {GRAMO}_{0} = 4 π R_{0} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar{\nabla} \cdot \bar{G} - \partial_{0}G_0 = 4\pi R_0 . \tag{Gauss Dipole} \end{align}$

kyle kanos

(a) ¿Qué es

x_{0}

$x_0$ ? (b) ¿Cuál es su pregunta? (c) ¿Cómo debo pensar en estos términos físicamente ?

kyle kanos

No abordó (2) (que, en términos de este sitio, es el más importante para abordar). Y los términos a los que me refería son sus términos "dipolares",

F

$F$ y

G

$G$ ; ¿Cómo voy a pensar en estos? Creo en tus matemáticas, simplemente no veo el uso de lo anterior.

linuxfreebird

@KyleKanos ¿Este cambio aborda el problema (2)? Gracias.

Respuestas (2)

¿Cuál es el significado físico de la transformación dipolar de las ecuaciones de Maxwell?

(a) ¿Qué es $x_0$ ? (b) ¿Cuál es su pregunta? (c) ¿Cómo debo pensar en estos términos físicamente ?
No abordó (2) (que, en términos de este sitio, es el más importante para abordar). Y los términos a los que me refería son sus términos "dipolares", $F$ y $G$ ; ¿Cómo voy a pensar en estos? Creo en tus matemáticas, simplemente no veo el uso de lo anterior.

mufrido · Answer 1

No se necesita complejización explícita para derivar este desglose de las ecuaciones de Maxwell. Esto puede entenderse completamente a través del espacio vectorial real de la relatividad especial.

Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para el campo EM, en el lenguaje del álgebra de Clifford llamado STA: el álgebra del espacio-tiempo. Las ecuaciones de Maxwell toman la forma

\nabla F = - j

$\nabla F = -J$

dónde $\nabla F = \nabla \cdot F + \nabla \wedge F$ , $F = e_0 E + B \epsilon_3$ , en el $(-, +, +, +)$ Convención de signos.

Dejar $x$ Sea el vector de posición del espacio-tiempo. Generalmente es cierto que, para un vector $v$ y un bivector constante $C$ ,

\nabla (C \cdot X) = - 2 C, \nabla (C \land X) = 2 C ⟹ \nabla (C X) = 0

$\nabla (C \cdot x) = -2 C, \quad \nabla (C \wedge x) = 2C \implies \nabla (Cx) = 0$

Entonces se puede evaluar la expresión

\nabla (F X) = (\nabla F) X + \dot{\nabla} (F \dot{X})

$\nabla (Fx) = (\nabla F)x + \dot \nabla (F \dot x)$

donde el punto medio significa que solo $x$ se diferencia en el segundo término; usando la regla del producto, $F$ se "mantiene constante", por lo que se aplican las fórmulas anteriores. Acabamos de argumentar que el segundo término es cero, por lo que obtenemos $\nabla (Fx) = (\nabla F) x$ . Así, llegamos a la siguiente transformación de las ecuaciones de Maxwell:

\nabla (F X) = - j X

$\nabla (Fx) = -Jx$

Ahora, siempre podríamos escribir $F$ como un "bivector complejo" en el sentido de que, usando $\epsilon = e_0 \epsilon_3$ , y $\epsilon \epsilon = -1$ , tenemos

F = {mi}_{0} mi - B ϵ_{3} {mi}_{0} ϵ_{3} ϵ = {mi}_{0} (mi + ϵ B)

$F = e_0 E - B \epsilon_3 e_0 \epsilon_3 \epsilon = e_0 (E + \epsilon B)$

Es crucial tener en cuenta que $\epsilon$ no conmuta con ningún vector.

¿Cuáles son los componentes de $Fx$ ? Escribir $x = t e_0 + r$ y podemos escribirlos como

F X = {mi}_{0} (mi X + ϵ B X) = {mi}_{0} (mi \cdot r + mi \land r - {mi}_{0} mi t + ϵ B \cdot r - {mi}_{0} B \times r + ϵ B t {mi}_{0})

$Fx = e_0 (Ex + \epsilon Bx) = e_0 (E \cdot r + E \wedge r - e_0 Et + \epsilon B \cdot r - e_0 B \times r + \epsilon B t e_0)$

Esto también se puede escribir en una forma "compleja":

F X = ({mi}_{0} mi \cdot r + mi t + B \times r) + ϵ (mi \times r + {mi}_{0} B \cdot r + B t)

$Fx = (e_0 E \cdot r + Et + B \times r) + \epsilon (E \times r + e_0 B\cdot r + Bt)$

Parece que diferimos en algunos signos, pero esta es reconociblemente la misma cantidad que has llamado $G$ .

Ahora, para hablar sobre cómo se descomponen estas ecuaciones, escribamos $G = G_1 + G_3$ , dónde $G_1 = (e_0 E \cdot r + \ldots)$ y $G_3 = \epsilon (E \times r + \ldots)$ . También escribamos para $R = Jx = R_0 + R_2$ .

Las ecuaciones de Maxwell se convierten entonces

\nabla \cdot {GRAMO}_{1} = R_{0}, \nabla \land {GRAMO}_{1} + \nabla \cdot {GRAMO}_{3} = R_{2}, \nabla \land {GRAMO}_{3} = 0

$\nabla \cdot G_1= R_0, \quad \nabla \wedge G_1 + \nabla \cdot G_3 = R_2, \quad \nabla \wedge G_3 = 0$

Las ecuaciones primera y tercera son las componentes del dipolo de Gauss; la segunda ecuación es la ecuación dipolo Ampere-Faraday.

Ahora, ¿qué significa todo esto? La expresión para $G = Fx$ incluye tanto los momentos de rotación del campo EM como algunos productos puntuales, por lo que mide cuánto está la posición del espacio-tiempo en el mismo plano que el campo EM y cuánto está fuera del plano la posición del espacio-tiempo.

Probablemente sea más instructivo mirar el término fuente $-Jx$ . Esto nos dice tanto sobre los momentos de la corriente de cuatro como sobre cómo se acerca o se aleja del origen de coordenadas. La descripción de los momentos está completamente en la ecuación dipolar de Ampere-Faraday. ¿Qué tipo de momentos describiría esto? Un par de dos cargas puntuales opuestas en reposo, separadas por un vector espacial $2 \hat v$ y centrados en el origen, cada uno con corriente en reposo $j_0$ , crearía un $R = Jx = + j_0 e_t \hat v - j_0 e_t (-\hat v) = 2 j_0 e_t \hat v$ , por lo que esto se describiría en su totalidad por la ecuación del dipolo AF.

Eso es en el tiempo cero, sin embargo. En tiempos posteriores, $R$ recogerá estos extraños términos de tiempo. Digamos que estamos en el momento $\tau$ . Entonces $R = 2 j_0 e_t \hat v + j_0 e_t (\tau e_t) - j_0 e_t (\tau e_t)$ . Entonces, para este caso, no hay problema: las cosas adicionales simplemente se cancelarán. Sin embargo, un solo cargo comenzaría a cobrar este término.

En pocas palabras, estas ecuaciones son raras .

Creo que tu respuesta tiene sentido. Me gustó el uso de la palabra "raro". Si tiene tiempo, ¿podría intentarlo en physics.stackexchange.com/questions/103535/… ? Creo que esta pregunta implica la posibilidad de un cuarto componente en el campo de Faraday, ¿tal vez? $G_0$ es el cuarto componente de $\bar{G}$ .
No te dejes engañar porque $G$ tiene ocho componentes reales. Un campo arbitrario $P$ con los mismos componentes distintos de cero que $G$ podría tener tendría 8 grados de libertad, sí. cuando multiplicas $P$ por $x$ a la derecha, obtienes 8 números: los 6 componentes bivectoriales, un componente escalar y un componente pseudoescalar. Esto no es cierto de $G$ . cuando multiplicas $Gx$ , obtienes que los componentes escalares y pseudoescalares son cero. Aunque $G$ tiene ocho componentes, solo seis de ellas representan grados de libertad reales, al igual que el bivector de Faraday $F$ tiene sólo seis componentes.
No recuerdo si respondiste otra pregunta mía. Creo que lo que dices es que dado que G está relacionado con F, F solo tiene 6 grados de libertad, por lo que G solo tiene 6 grados de libertad. Lo que despertó mi interés fue que G expresa un nuevo sabor de las ecuaciones de Maxwell con un misterioso cuarto componente de campo. Si existiera un cuarto componente de F en la misma forma que G, ¿cuál sería? ¿Podría expresarse en términos de los cuatro potenciales? Si F tuviera 8 componentes independientes, entonces G tendría 8 componentes independientes.
Responderé esta pregunta sobre su pregunta real con esta pregunta.

Brian polillas · Answer 2

Estaba navegando por esto y parece que puedes mejorar un poco tu notación. Puede definir un producto en cuatro vectores dados por $(a^0,\vec{a}) * (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} +i \vec{a} \times \vec{b})$ . También puede definir un producto relacionado $\bar{*}$ por $(a^0,\vec{a}) \bar{*} (b^0,\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b} - a^0 b^0, b^0 \vec{a} - a^0 \vec{b} -i \vec{a} \times \vec{b})$ . Entonces puedes definir un cuatro vector $F$ por $F=(0,\vec{F})$ .

Entonces las ecuaciones de Maxwell se convierten en $\partial \bar{*} F = 4\pi j$ , puede definir un vector 4 $R=r * j$ , y $G=r * F$ . Estos son los cuatro vectores análogos de su $R$ y $G$ . Habiendo enmarcado todo en términos de estos productos, sus nuevas ecuaciones se convierten en $\partial \bar{*} G =4\pi R$ . No he explicado el significado físico, pero espero que esto haga que el problema sea más fácil de pensar. También espero no haberme equivocado en ningún signo negativo. Por favor comente o corrija la respuesta si lo hice.

Editar

Supongo que puedo intentarlo y dar alguna interpretación, pero no creo que sea demasiado perspicaz. Básicamente puedes pensar en $G$ como un momento del campo, y $R$ como un momento de la corriente. Ha encontrado que si los campos y las corrientes satisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces los momentos también deben hacerlo. Esto me recuerda cómo si el potencial de cuatro vectores satisface la ecuación de campo, entonces también deben hacerlo los campos, porque el proceso de diferenciar el potencial de vector conmuta al aplicar el operador de campo. Entonces aquí parece estar diciendo que si los campos y las corrientes satisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces los momentos también deben hacerlo, porque el proceso de tomar los momentos conmuta con la aplicación $\partial \bar{*}$ .

¿Creo que su notación está usando bi-cuaternión? Creo que te falta un cartel, pero la idea es la misma. Por cierto, ¿estás representando a F y G como vectores de cuatro componentes? Eche un vistazo a esta pregunta publicada: physics.stackexchange.com/questions/103535/…
La respuesta en la pregunta vinculada a es la forma en que estoy acostumbrado a verla, pero creo que la forma en que lo hiciste aquí parece interesante. Estaba pensando que los bicuaterniones serían relevantes, pero no tenía la intención de que mis cuatro vectores se interpretaran como una especie de cuaternión, aunque se parecen. $F$ es un cuatrivector, aunque su componente temporal es cero. $G$ es también un cuatro vector y, en general, tiene un componente de tiempo distinto de cero. Además, ¿dónde estaba mi error de señal?
Intenté agregar una explicación física. No creo que sea tan útil, pero es algo.
Tardaré algún tiempo en solucionar el problema de la señal que falta. Todo se reduce a la elección de la convención de signos. Para realizar una solución rápida, simplemente escriba * y -* como expresiones iguales y luego cambie el signo de a_0 por uno y eso solucionará el problema del signo, pero nuevamente funcionará si elige cualquiera de las combinaciones de componentes vectoriales. Estoy tratando de averiguar cuál es la mejor opción de convención.

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