Momento angular total y conmutador de la ecuación de Dirac

Para arreglar la notación, escribiré el hamiltoniano como$H_D=\int d^d x \,\psi^{\dagger}(x) \gamma^{0} ( \gamma^i (-i \partial_{x^i})+ m )\psi(x)$, dónde$m$es el valor numérico de la masa y$\gamma_{\mu}$satisface el álgebra de Clifford. Tenga en cuenta que, aunque el número de componentes es 4 (en (3+1)-D), el tamaño real del hamiltoniano cuantificado en primer lugar (una partícula) es en realidad de dimensión infinita, debido al espacio continuo$x_i$.

En esta representación,$J_i=L_i+S_i$,$S_{i}=\epsilon_{ijk}\frac{i}{4} [\gamma_i,\gamma_j]$y$L_i=\epsilon_{ijk}x_j (-i \partial_k)$(tenga en cuenta que los segundos generadores cuantificados están dados por$\hat{J}=\int d^d x \, \psi^{\dagger} J \psi$etc). Uno puede hacer la transformación directamente y mostrar que el hamiltoniano es invariante. Algebraicamente es fácil ver por qué$L_i$en sí misma no es una simetría, porque para una transformación pasiva$\mathcal{R}=e^{i \theta \hat{n} \cdot \hat{L}}$dará

$H_D=\int d^d x \,\psi^{\dagger}(x) \gamma^{0} ( \gamma^i (-i \partial_{(\mathcal{R}x)^i})+ m )\psi(x)$

que aparentemente no es igual al hamiltoniano original: también es necesario rotar la parte del espinor (el espacio de$\gamma$matrices).

Otra forma de "comprender" por qué L y S no deberían ser simetría por separado: la ecuación de Dirac es una representación de espinor irreducible para adaptarse a la simetría de Lorentz. Si L y S son generadores de simetría por sí mismos, significa que los índices de "espín" desacoplados de la parte espacial, tienen una estructura de producto tensorial y no es una representación irreducible. Esto es cierto para la simetría rotacional del campo de Schrödinger no relativista de espín.

$H_S=\int d^d x \,\psi_{\sigma}^{\dagger}(x) ( \frac{1}{2m} (-i \partial_{x^i})^2+ V(x) )\psi_{\sigma}(x)$

donde la parte del espinor$\sigma$totalmente desacoplado de la parte orbital$x_i$. En retrospectiva, la forma$\gamma^i (-i \partial_{x^i})$nos dijo que el espín y el orbital ya están acoplados.