Momento angular orbital de los electrones

En una clase de QM, para estudiar el átomo de hidrógeno, comenzamos definiendo el hamiltoniano H para un potencial central, luego hizo aparecer un operador de momento angular orbital como parte de H , luego surgieron armónicos esféricos y probabilidades de encontrar electrones en algunas regiones alrededor del núcleo. Nunca dijimos que había un electrón que orbitaba alrededor del núcleo (como probablemente habríamos hecho en la mecánica clásica), ese sería el modelo de Bohr. No hay una "trayectoria" del electrón en el modelo QM, por lo que no estoy seguro de que podamos recurrir a una interpretación clásica y decir que el electrón en realidad lleva un momento angular orbital como lo hace un planeta. ¿Existe realmente para el electrón a r y un pag que podemos observar y que podríamos usar para calcular r × pag ?

Entonces, la forma correcta de ver la situación es que hay un sistema que se modela mejor con algunos observables que siguen un álgebra de momento angular, pero no trate de poner demasiado significado clásico en esos j 's ( j 2 , j X , j y , j z , j + , j − )?

Respuestas (1)

El momento angular es el que se conserva bajo las rotaciones. De manera equivalente, los operadores de momento angular son los generadores de rotaciones. Esto es válido tanto clásica como cuánticamente por (versiones de) el teorema de Noether.

Definiendo "momento angular" como X → × pag → clásicamente y luego mostrar que se conserva es hacerlo al revés desde la perspectiva lagrangiana y hamiltoniana, y es la perspectiva hamiltoniana la que es el punto de partida para la cuantización canónica. Entonces realmente deberías comenzar mirando los generadores de rotaciones. s o ( 3 ) .

Sin embargo, incluso cuánticamente, L = X × pag , como se puede comprobar calculando [ L i , L j ] y observando que este operador también cumple las relaciones de conmutación de s o ( 3 ) .

Esto no significa que haya "una X y un pag " (en el sentido de valores propios) para cada estado propio de momento angular a partir del cual podríamos calcular el momento angular porque los operadores X y pag no viaje con L , por lo que podemos tener un momento angular bien definido de un estado sin tener una posición o un momento bien definidos.

Entonces, eso es lo que pensé: hay algún operador L en QM con algo de álgebra y algo de ley de conservación, y somos extremadamente afortunados de que resulte ser r × pag , aunque en realidad no hay ninguna r o pag para el electrón.
¿Podemos decir que el momento angular de alguna manera solo modela la invariancia de rotación del sistema bajo consideración?
@Frank: No, no tenemos "suerte", ¡es una función integrada! La cuantización canónica convierte los corchetes de Poisson clásicos en conmutadores, por lo que los generadores clásicos de cualquier grupo también se asignarán a los generadores cuánticos del mismo grupo. Lo único que puede salir mal es que el objeto clásico no es hermitiano en su forma cuantizada, pero realmente no es suerte que el objeto cuantizado L parece el clasico L . (Advertencia: puede haber operadores cuánticos que no surjan de la cuantización canónica, por ejemplo, espín).
¿No muestra su advertencia que tenemos "suerte" en el sentido de que la imagen QM más precisa podría haber sido diferente? Quiero decir que hay cierta arbitrariedad al decidir cómo llevar a cabo el procedimiento de cuantificación canónica, y ya girar no encaja :-) ¿Qué tal si contamos la historia de otra manera: hay simetría rotacional, por lo tanto, hay una cantidad conservada que podemos llamar " j ", que junto con j + y j − sigue un álgebra típica de simetrías rotacionales? A partir de ese punto de partida, deberíamos poder expresar la simetría en el hamiltoniano,
luego resuelva para encontrar armónicos esféricos, con una elección conveniente de coordenadas, por ejemplo r , θ , ϕ . No es necesario partir de una analogía clásica donde el electrón tendría un j porque gira alrededor del núcleo? Lo único que me molesta en esta historia es que elegimos un z eje en algún punto, lo que rompe la simetría esférica del sistema.
@Frank: 1. Estoy de acuerdo en que, en principio, es mejor tratar la teoría cuántica sin recurrir a la teoría clásica. 2. No hay arbitrariedad en la cuantización canónica, las relaciones de conmutación canónicas fijan únicamente la teoría cuantizada por el teorema de Stone-von Neumann. Nuevamente, sin embargo, no todos los sistemas cuánticos se obtienen mediante cuantización canónica. 3. Solo "elegimos" el z -eje para tener alguna forma de fijar una base para las representaciones con momento angular fijo. No es una elección "física", puede, en cualquier momento, elegir cualquier otro eje.
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