Momento angular en un sistema de referencia rotatorio no inercial

Supongamos que el cuerpo rígido gira alrededor de su centro de masa (COM), y el origen del marco de inercia$F$se toma en el COM del cuerpo rígido. Dejar$F'$ser el marco giratorio y$\Omega$la velocidad angular de$F'$relativo a$F$. Suponiendo además que el origen de$F'$coincide con$F$, entonces la velocidad angular$\omega'$del cuerpo rígido en$F'$es simple$\omega'=\omega-\Omega$. Cuando$\omega'>0,$significa que el cuerpo rígido está girando en la misma dirección wrt$F'$en cuanto a$F$. y viceversa.

Ahora, considere el origen de la$F'$no está en el centro de masa del cuerpo rígido, hay un movimiento orbital del COM wrt$F'$. La velocidad orbital$v'$del COM relativo a$F'$se puede encontrar usando la ley de transformación de la velocidad

$$v=V+\Omega\,\times r'+v',$$ dónde$v$es el vector de velocidad del COM relativo a$F$,$V$es el vector velocidad del origen de$F'$relativo a$F$,$r'$es el vector de posición del COM relativo a$F'$y$v'$es el vector de velocidad de COM relativo a$F'$. En este caso,$v$es cero ya que el COM ciertamente no se mueve hacia$F$y$V$se desvanece si asumimos que no hay velocidad de traslación del origen de$F'$relativo a$F$. Entonces, el momento angular orbital del COM en relación con$F'$es $$v'=-\Omega\,\times r',$$ y el momento angular orbital de COM es $$L'_{orb}=Mr'\times v',$$ dónde$M$es la masa del cuerpo rígido. El momento angular total del cuerpo rígido relativo a$F'$es, por lo tanto $$L'=L'_{orb}+I\omega.$$ El segundo término permanece ya que el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de su COM no cambia a menos que el origen esté fijo en el COM del cuerpo rígido.

No aguantará.

Considere un sistema inercial$S$con origen$O$y otro sistema$S'$con origen$O'$. Los vectores de la base de$S'$rotar con los vectores de la base de$S$con velocidad angular$\mathbb{\Omega}$. Entonces,

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = \mathbf{L}^{O'} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$ donde los superíndices se refieren al origen desde donde se considera y las magnitudes en mayúscula se refieren a la posición y velocidad del centro de masa.

Podemos escribir el primer término

$$\begin{equation} \mathbf{L}^{O'} = I^{O'}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$ conseguir $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} + M\mathbf{R}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} - M\mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{v_{O'}}^{O} \end{equation}$$

Hay 2 casos particulares en los que esto se simplifica mucho. Llevar$O'$como

• el centro de masa.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{CM}\mathbf{\Omega} + \mathbf{R}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ El momento angular se puede ver como la suma del momento angular del cuerpo con respecto al centro de masa (giro) y el momento angular del centro de masa con respecto a$O$(orbital).

• un punto sin velocidad respecto a$O$.

  $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O'}\mathbf{\Omega} + \mathbf{r_{O'}}^{O} \times \mathbf{P}^{O} \end{equation}$$ pero si$O'$está arreglado,$S'$es inercial y también podríamos considerar$O = O'$, en ese caso $$\begin{equation} \mathbf{L}^{O} = I^{O}\mathbf{\Omega} \end{equation}$$