Momento angular alrededor de un eje en movimiento

El momento angular es un vector definido por

$$\vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$$ dónde $I_{cm}$es un momento de inercia de masa de 3 × 3 con respecto al centro de masa. Cuando el vector de velocidad de rotación $\omega$se trata de uno de los principales ejes de inercia , entonces el vector de momento angular es paralelo al eje de movimiento y $\vec{L}_{cm} =m \rho^2 \vec{\omega}$dónde $m$es la masa escalar, y $\rho$es el radio escalar de giro alrededor de ese eje.

Si un cuerpo no gira con$\vec{\omega}=\vec{0}$entonces no tendrá momento angular (todavía puede tener momento lineal$\vec{p} = m \vec{v}_{cm}$).

Realmente no entiendo su pregunta, ya que no decidimos sobre qué eje se define el momento angular. Proviene del movimiento y las propiedades de inercia del cuerpo. La conservación del momento angular establece que cuando los pares netos alrededor del centro de masa son cero, el vector del momento angular no cambia.

Es una consecuencia de la ley del movimiento de rotación.

$$\sum \vec{\tau}_{cm} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \vec{L}_{cm}$$

Además, para definir el momento angular con respecto a cualquier otro punto A , digamos ubicado$\vec{r}_A$lejos del centro de masa, también debe considerar el momento del impulso lineal

$$\vec{L}_A = \vec{L}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{p}$$

Como la velocidad lineal se transforma de manera similar

$$\vec{v}_A = \vec{v}_{cm} - \vec{r}_A \times \vec{\omega}$$

puede establecer los vectores de momento alrededor de cualquier punto A arbitrario como una función del movimiento de este punto

$$\begin{align} \vec{p} & = m ( \vec{v}_A + \vec{r}_A \times \vec{\omega} )\\ \vec{L}_A & = I_{cm} \vec{\omega} - \vec{r}_A \times \vec{p} \end{align}$$

Esto es importante porque se usa para establecer las ecuaciones de movimiento de cuerpos rígidos en puntos alejados del centro de masa. Consulte esta respuesta ( Derivación de las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler ) para obtener más detalles.

El momento angular$L$de un objeto siempre se define con respecto al eje alrededor del cual tiene lugar la rotación:

$$L=I\omega,$$

dónde$I$es el momento de inercia y$\omega$la velocidad angular

El momento de inercia está definido y se puede calcular como se muestra aquí . Donde es necesario calcular$I$con respecto a otro eje paralelo al primero, se puede utilizar el Teorema de los Ejes Paralelos .

Ahora, con respecto al momento angular, análogo al momento lineal, es una cantidad conservada. Para cambiar el momento lineal se necesita aplicar una fuerza y ​​para cambiar el momento angular se necesita aplicar un par (momento, par [syn.]) .

¿Cómo podemos definir el momento angular de un sistema alrededor de un eje que se mueve paralelo a sí mismo? Por ejemplo Eje que pasa por CM que es perpendicular al plano del cuerpo.

No estoy seguro de haber entendido bien tu pregunta. El momento angular siempre se define alrededor de un eje de rotación. Si ese eje mismo se mueve, el objeto tendrá tanto momento angular$I\omega$ Y momento lineal$mv$($v$es la velocidad lineal de ese eje).

Mira el siguiente diagrama:

A la izquierda, el objeto gira alrededor de un eje a constante$\omega$: rotación pura.

Derecha, el objeto gira alrededor de un eje a constante$\omega$y el eje se mueve paralelo a sí mismo con velocidad$v$: tenemos rotación y traslación sucediendo a la vez.

En ambos casos, el momento angular es exactamente el mismo, pero el objeto correcto también tiene un momento lineal.

La energía cinética total del objeto sería$K$:

$$K=\frac{I\omega^2}{2}+\frac{mv^2}{2}.$$

Cuando hablamos de la conservación del momento, ¿significa que el momento angular sobre un eje fijo en particular sigue siendo el mismo, o podemos probar esto para un eje que también se mueve en paralelo?

Sí. Incluso si ese eje se mueve, el momento angular se conserva, hasta que algún par actúa sobre el objeto para alterar su velocidad angular.$\omega$.

Un ejemplo es un cilindro que rueda por una pendiente suave: siempre que haya suficiente fricción, tanto el momento angular como el lineal cambiarán porque la fricción proporciona al par$\sigma$alterar$\omega$.

Por ejemplo, si un disco cae libremente. ¿Podemos decir que el momento angular sobre un eje que pasa por CM y es perpendicular al disco seguirá siendo el mismo? ¿Cómo podemos decir esto?

Siempre que ningún par actúe sobre el disco giratorio, su velocidad angular y, por lo tanto, su momento angular$L=I\omega$no cambiará.