Simetría en circuitos de resistencia

No podemos quitar la resistencia entre los dos puntos que hemos elegido porque no tienen el mismo voltaje.

Bien, analicemos eso un poco. Imagine que realmente tiene una red de resistencias ( cualquier red de resistencias) construida y desea medir su resistencia con un ohmímetro . Para hacer eso, debe elegir dos de los puntos en la red y conectarles los cables del ohmímetro. Luego, el ohmímetro pasará una pequeña corriente continua a través de la red, medirá la diferencia de voltaje$\Delta V$entre sus conductores y la corriente$I$que fluye a través de la red entre ellos, y calcule la resistencia$R$de la red usando la ley de Ohm :

Ahora, dado que estamos alimentando una corriente CC fija en la red, y dado que solo tenemos componentes resistivos pasivos, la red se establecerá muy rápidamente (esencialmente instantáneamente) en un estado estable donde cada nodo está en un voltaje constante y cada resistencia tiene una corriente constante que fluye a través de ella.

Específicamente, el nodo al que hemos conectado el cable negativo del ohmímetro se reduce a un voltaje fijo$V^-$, mientras que el nodo al que hemos conectado el cable positivo se eleva a cierto voltaje$V^+ > V^-$. Cualquier otro nodo$i$de la red estará en algún voltaje intermedio$V_i$Entre$V^-$y$V^+$. Usando la analogía de las bolas de colores, es como si hubiéramos elegido dos bolas, coloreando una de ellas blanca y la otra negra , y coloreando el resto de las bolas con diferentes tonos de gris según su voltaje de equilibrio, según lo determinado por la ley de Ohm y Kirchhoff. primera ley .

De hecho, podemos resolver mecánicamente la corriente de equilibrio$I$a través del sistema simplemente escribiendo las expresiones para el flujo de corriente a través de cada resistencia$ij$dada por la ley de Ohm:

Sin embargo, si queremos simplificar el sistema antes de resolverlo, podemos aplicar dos observaciones útiles:

• Primero, si dos nodos tienen el mismo voltaje, no puede fluir corriente entre ellos:$V_i = V_j$ $\implies$ $I_{ij} = 0$. (¡Compruebe esto usando la ley de Ohm anterior!) Por lo tanto, podemos ignorar por completo cualquier resistencia entre dichos nodos. De hecho, incluso podemos colapsar dichos nodos en un solo nodo (como si estuvieran conectados por un cable con resistencia cero), siempre que recordemos tener en cuenta el hecho de que podemos terminar con varias resistencias en paralelo entre ellas. dos nodos

• En segundo lugar, si tenemos dos nodos$i$y$j$tal que$R_{ik} = R_{jk}$para todos los nodos$k$(donde llevamos$R_{ik} = \infty$si$i$y$k$no están conectados) y$I^0_i = I^0_j$, entonces podemos intercambiar las etiquetas de esos dos nodos sin cambiar ninguno de los parámetros del sistema. Así, por simetría, la solución debe tener$V_i = V_j$, ya que, de lo contrario, intercambiar las etiquetas cambiaría la solución sin cambiar los parámetros (lo cual es una contradicción si el sistema está bien definido y, por lo tanto, tiene una solución única).

En su red de ejemplo, cada nodo está conectado a todos los demás nodos por resistencias idénticas, y así$R_{ik} = R_{jk}$para todos los nodos$i$,$j$,$k$. Para todos menos los dos nodos de punto final elegidos, también tenemos$I^0_i = I^0_j = 0$, por lo que todos los demás nodos, excepto los puntos finales, se pueden intercambiar sin cambiar el sistema. Por lo tanto, podemos ignorar cualquier resistencia entre ellos e incluso colapsarlos en un solo nodo.

Sin embargo, la razón por la que no podemos intercambiar los dos puntos finales elegidos es que rompimos la simetría cuando les conectamos los cables de medición: esos puntos tienen corriente que fluye hacia ellos desde fuera de la red, lo que los llevará a diferentes voltajes. En particular, la diferencia de voltaje hará que fluya una corriente distinta de cero a través de cualquier resistencia que conecte esos dos nodos, por lo que dichas resistencias no pueden ignorarse al calcular el flujo de corriente total en el sistema.

(Si no hubiera corriente suministrada externamente, todos los nodos de la red serían simétricos, y podríamos deducir correctamente que no fluiría corriente entre ninguno de ellos. Pero ese escenario es completamente inútil para calcular la resistencia, ya que tendríamos termina con la forma indeterminada$R = \Delta V/I = 0/0$.)

Dado$N \ge 2$nodos totalmente interconectados con$\frac{1}{2}N(N-1)$resistencias de resistencia$R$(es decir, cada dos nodos conectados entre sí con una resistencia$R$), la resistencia entre dos nodos cualesquiera es$\frac{2}{N}R$.

Esto se sigue directamente de la asignación de un voltaje "$+1$" y "$-1$" a los dos nodos en consideración, lo que resulta en la$N-2$otros nodos (todos conectados directamente a ambos nodos bajo consideración) adquiriendo un voltaje cero. Como no fluirá corriente a través de las resistencias que conectan los nodos con el mismo potencial, todas las resistencias que no estén directamente conectadas a los dos nodos en consideración pueden eliminarse.

En otras palabras: las únicas rutas de conductancia que contribuyen son un solo "un salto" de resistencia$R$y$N-2$"saltos dobles" de resistencia$2R$. La conductancia paralela total de todos estos caminos combinados es$\frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R} \ = \frac{N}{2R}$. El recíproco de esta cantidad es la resistencia efectiva entre los dos nodos.

Hay un buen argumento para este tipo de preguntas. La prueba se sigue de la linealidad del sistema. Así es como funciona:

1. Supongamos que ingreso la corriente$I$de un nodo y extraer$\frac{I}{5}$de todos los demás nodos. Debido a la simetría, sé que exactamente$\frac{I}{5}$fluirá a través de los cables adyacentes (bordes).
2. Ahora estoy mirando otro nodo, supongamos que entro$\frac{I}{5}$actual de todos los demás nodos y extraer$I$de este Nuevamente usando simetría, sé que exactamente$\frac{I}{5}$fluirá a través de cables conectados a ese nodo.
3. Ahora considere la superposición de estos dos casos. me estoy inyectando$\frac{6I}{5}$de un nodo y extrayendo lo mismo del otro vértice. Ninguna corriente saldrá o entrará de otros nodos. También sabemos que la corriente que pasa a través del cable que conecta estos dos nodos es exactamente$\frac{2I}{5}$(se sigue de la linealidad).

Ergo usando la definición de resistencia equivalente y la diferencia de potencial entre estos dos nodos, tendremos:

Entonces, ¿por qué no podemos seguir la misma lógica y eliminar la resistencia entre los dos puntos elegidos?

OK, voy a abordar directamente su pregunta en parte . Específicamente, ¿por qué no podemos eliminar la resistencia entre los dos puntos elegidos?

La respuesta es una aplicación elemental de la Ley de Ohm. Elija dos nodos cualesquiera. Hay una resistencia que conecta directamente esos dos nodos.

(1) Coloque una fuente de voltaje entre los dos nodos. Ahora hay un voltaje a través de la resistencia entre los dos nodos y, por lo tanto, según la Ley de Ohm, una corriente a través de esa resistencia .

(2) Esta corriente se suma a la corriente total a través de la fuente de voltaje.

(3) Si quita la resistencia, cambia la corriente a través de la fuente de voltaje y, por lo tanto, cambia la resistencia vista por la fuente de voltaje .

Conclusión : no puede eliminar la resistencia entre los nodos elegidos sin cambiar la resistencia equivalente entre esos nodos.

Claramente, hay una falla en la lógica que lo llevó a la conclusión de que la resistencia se puede quitar. Pero, sinceramente, por la forma en que está escrita la lógica , no está claro cuál es la lógica o cómo te llevó a esta conclusión.