Modos magnético transversal (TM) y eléctrico transversal (TE)

Sé sincero conmigo, no recuerdo cada pequeño paso, pero espero que esta derivación te ayude.

Primero recuerda cómo viaja una onda a través de una guía de ondas (dieléctrico).

$$E(x,y,z) = E^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$ $$H(x,y,z) = H^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$

Luego considere las Leyes de Ampere y Faraday para una región libre de fuentes.

$$\triangledown \times H = j\omega\epsilon E$$ $$\triangledown \times E = -j\omega\mu H$$

Esto produce 3 ecuaciones cada una (para las direcciones x, y y z):

$$1) \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \gamma E_{y} = -j\omega\mu H_{x}$$ $$2) \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \gamma E_{x} = j\omega\mu H_{y}$$ $$3) \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} = -j\omega\mu H_{z}$$ $$4) \frac{\partial H_{z}}{\partial y} + \gamma H_{y} = j\omega\epsilon E_{x}$$ $$5) \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \gamma H_{x} = -j\omega\epsilon E_{y}$$ $$6) \frac{\partial H_{y}}{\partial x} - \frac{\partial H_{x}}{\partial y} = j\omega\epsilon E_{z}$$

Podemos combinar (1) y (5) y combinar (2) y (4) debido a términos semejantes para generar ecuaciones para$H_{x}$y$E_{x}$que se convierten en (7) y (9). Reordenamos las ecuaciones (3) y (6) para$H_{y}$y$E_{y}$, respectivamente.

$$7) H_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}$$

$$8) H_{y} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}$$

$$9) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial y}$$

$$10) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x}$$

Y recuerda$h^{2} = \gamma^{2} + \beta^{2}$, dónde$\beta = \omega \sqrt{\mu\epsilon}$

Componentes transversales$E_{x}, E_{y}, H_{x}, H_{y}$se expresan en términos de las componentes longitudinales$E_{z}, H_{z}$. Y nos dan tres casos:

1) Transversal Eléctrico (TE):

$$E_{z} = 0, H_{z} \neq 0$$

2) Magnético Transversal (TM):

$$E_{z} \neq 0, H_{z} = 0$$

3) Electromagnético Transversal (TEM):

$$E_{z} = H_{z} = 0$$

Donde en el caso de los modos TEM, las ecuaciones (7) a (10) se descomponen a menos que$h = 0$sentido:

$$\gamma^{2} + \beta^{2} = 0$$ $$\gamma^{2} = -\beta^{2}$$ $$\gamma = j\beta = j\omega\sqrt{\mu\epsilon}$$

Ahora aquí necesitamos traer la ecuación de Helmholtz para resolver el diferencial parcial para los modos TE y TM:

$$\triangledown^{2} A + k^{2}A = 0$$

En los modos TE, necesitamos$H_{z}$, que es nuestro$A$en la ecuación de Helmholtz, y nuestro factor$k^{2}$es$\beta^{2}$.

Sustituyendo:

$$\triangledown^{2} H_{z} + \beta^{2} H_{z} = 0$$

Expandir:

$$\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} + \beta^{2} H_{z} = 0$$

$$\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} = -\gamma^{2}H_{z}^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$

$$\frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + (\gamma^{2} + \beta^{2})H_{z}$$ Ya que $h^{2}$= $\gamma^{2} + \beta^{2}$Concluimos: $$\frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}H_{z} = 0$$

Repita los mismos pasos anteriores para los modos TM, donde necesitamos$E_{z}$

$$\triangledown^{2} E_{z} + \beta^{2} E_{z} = 0$$

Y por lo tanto:

$$\frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}E_{z} = 0$$

Ahora, la razón por la que solo hay dos conjuntos de componentes se debe al hecho de que la onda se propaga a lo largo de una sola dirección dada la guía de ondas. El factor clave es que los campos eléctrico y magnético SIEMPRE son perpendiculares entre sí. Este es un principio primario que descubrió Maxwell. Los dos siempre viajan juntos en ondas electromagnéticas.

Por ejemplo:

Donde en los modos TM el campo eléctrico está en la dirección perpendicular a la de propagación, SÓLO el campo magnético se propaga dentro de la guía de ondas, y viceversa para los modos TE. Esta es la razón por la que las componentes eléctricas o magnéticas se consideran 0 (dado que estamos asumiendo que z es la dirección de propagación).

Entonces, tiene dos instancias para las ondas TM y TE, donde el campo eléctrico es cero o el campo magnético es cero, por lo que tiene dos conjuntos de ecuaciones.

Esto difiere en los modos TEM donde ninguno se propaga en la dirección de la guía de ondas, sin embargo, se requieren al menos dos conductores para que exista cualquier modo TEM.

Sugerencias:

1. Evidentemente, se supone que solo debemos resolver para$z$-dependencia (a diferencia de$x$- y$y$-dependencia).

2. Tenga en cuenta que las dos variables$E_z$y$H_z$puede ser eliminado.

3. En el sistema ODE acoplado reducido de cuatro ODE de primer orden y cuatro variables$(E_x,E_y,H_x,H_y)$, tenga en cuenta que las variables se acoplan dos y dos juntos. ¿Qué pares?

4. Dentro de uno de esos pares, es posible eliminar una de las variables para formar una EDO de segundo orden en una variable. ¿Qué conocida ODE de segundo orden sería esa?

5. Suponga que la EDO de segundo orden es de tipo oscilatorio. ¿Qué significa esto? Tiene dos constantes de integración (p. ej., amplitud y fase), a las que colectivamente nos referiremos como un solo modo.

6. Repitiendo 4 y 5, es posible obtener cuatro EDO de segundo orden en una variable cada una.

7. Sin embargo, recuerda que las cuatro variables no son independientes entre sí, sino acopladas dos y dos.

8. Finalmente, deduzca cuántos modos independientes existen.

Note que hay tres ecuaciones para las cantidades$(E_y,H_x,H_z)$:

$$\frac{\partial E_y}{\partial z} = -i\omega\mu_0 H_x$$

$$i\beta E_y = i\omega\mu_0 H_z$$ $$\frac{\partial H_x}{\partial z} -i\beta H_z = -i\omega\varepsilon_0\varepsilon E_y$$

Estos son totalmente independientes de las ecuaciones para los otros tres componentes,$(H_y,E_x,E_z)$. Si supieras exactamente las soluciones para$(E_y,H_x,H_z)$, todavía no tendría precisamente información adicional sobre las otras soluciones,$(H_y,E_x,E_z)$. Para resolver estas cantidades, aún tendría que resolver las ecuaciones diferenciales que las gobiernan. Esto significa que los modos TE, que consisten en los tres componentes$(E_y,H_x,H_z)$, son independientes de los modos TM, que consisten en$(H_y,E_x,E_z)$.

Si los dos conjuntos de ecuaciones son independientes entre sí, solo tiene que considerar tres ecuaciones y tres variables a la vez. Puede trabajar libremente para resolver las cantidades del modo TE sin tener en cuenta los valores de las cantidades TM. Lo mismo ocurre con las cantidades de TM, puede resolverlas sin tener en cuenta los valores de TE. Si solo está trabajando en tres componentes de campo a la vez y no le importan los demás, también puede establecer los otros en cero. Luego, el conjunto completo de ecuaciones se reduciría solo al modo que está considerando. Esto es válido para ambos modos. No es que haya exactamente dos conjuntos de soluciones, sino que las soluciones se separan en dos grupos que no tienen nada que ver entre sí, por lo que puede considerar estos grupos de forma independiente.

Los campos en general tendrán los seis componentes, pero cuando vayas a hacer los cálculos, solo tienes que resolver tres componentes a la vez. Esto es lo que tu texto quiere decir acerca de dos conjuntos de ecuaciones autoconsistentes.

Su confusión está bien justificada. Los modos TE y TM no son soluciones rigurosas de las ecuaciones de Maxwell. Esta es la razón por la que está luchando para descubrir por qué ciertos componentes se pueden establecer en cero. ¡No pueden! Esto es solo una aproximación para facilitar el análisis.

Sin embargo, son muy buenas aproximaciones. He realizado un modelado riguroso de guías de ondas y los componentes que se establecen en cero son muchos órdenes de magnitud más pequeños que los componentes del campo primario.