Operadores de carga Noether en la teoría electrodébil

Esta es una pregunta interesante. Creo que la verdadera dificultad es comprender la diferencia entre las cargas de Noether y lo que normalmente llamamos la carga de una partícula. Las cargas de Noether son operadores que al actuar sobre estados dan los valores que normalmente llamamos "cargas" de diferentes partículas. En otras palabras, las cargas de diferentes partículas son los valores propios de la carga de Noether cuando actúan sobre estados de una sola partícula.

Ninguna carga puede actuar sobre estados de una o varias partículas, es solo que los valores propios son las cargas de esos estados. Por ejemplo, con la carga isospín Noether, actuando sobre un estado con 3 neutrinos tendrá un valor propio de$3/2$.

Para apreciar completamente la relación entre las cargas de Noether y lo que llamamos cargas de partículas, creo que es importante ver un ejemplo detallado. Derivamos esta relación para isospin a continuación. Una corriente de Noether asociada con una simetría de calibre es la versión global de esa simetría. Considera el$SU(2) _L$Lagrangiano invariante:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \nu ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \nu _L + i e ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu e _L + h.c. \end{equation}$$ dónde $e _L$y $\nu _L$son fermiones de Weyl de dos componentes.

La corriente conservada asociada con la simetría es:

$$\begin{equation} j ^\mu = \alpha ^\alpha \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) \bar{\sigma} ^\mu t ^a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ dónde $t ^a$son los generadores de $SU(2)$. Esto da una carga conservada (lo denotamos $T$ya que queremos asociarlo con isospin), $$\begin{equation} T = \alpha ^a \int d ^3 x \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) t _a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ dónde $\sigma ^0$es la identidad y la mantenemos ya que mantiene consistentes los índices de spinor. Queremos simplificar este operador de forma análoga a lo que se hace en QED para la carga EM (ver por ejemplo Peskin Eq (3.113)).

Dado que esto debería ser válido para cualquier valor de$a$, en realidad tenemos 3 cargas conservadas,$T _1 , T _2 ,$y$T _3$. Esto es análogo al momento angular, donde tenemos 3 cantidades que se conservan,$J _x , J _y ,$y$J _z$. Sin embargo, aunque cada uno de los$T$se conservan, no podemos medir los 3 simultáneamente. Convencionalmente solo estudiamos$T _3$,

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int d ^3 x \left( \nu ^\dagger _L \nu _L - e ^\dagger _L e _L \right) + h.c. \end{equation}$$ Esta carga toma la forma de un operador numérico para los neutrinos y otro para los electrones pero con signo relativo negativo.

Podemos escribirlo más explícitamente pasando a la notación de cuatro componentes que nos permite usar las expresiones familiares de cuatro componentes para los campos de, por ejemplo, Peskin pg 54). Debo señalar que esto se puede hacer con la misma facilidad usando las expresiones de 2 componentes menos familiares. Sin embargo tenemos,

$$\begin{equation} \int \,d^3x \bar{\nu} \gamma _0 P _L \nu = \int \frac{ d ^3 p }{ (2\pi)^4 } \frac{1}{ 2E _p } \left( a _p ^{ s \dagger } a _p ^{ s ' } \bar{u} _p \gamma _0 P _L u _p ^{ s ' } + b _p ^{ s \dagger } b _{ p} ^{ s ' } \bar{v} _p ^s \gamma _0 P _L v _{ p } ^{s' } \right) \end{equation}$$ Ahora usamos las formas explícitas de los espinores para obtener, $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = \xi ^{ s \dagger } p \cdot \sigma \xi ^{ s ' } \end{align}$$ Esta expresión se simplifica muy bien en el caso de partículas sin masa (que es el caso aquí como $SU(2) _L$se conserva), $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ y también tenemos, $$\begin{align} v ^{s \dagger} _p P _L v _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ Por lo tanto, $$\begin{align} \int \,d^3x \nu _L ^\dagger \nu _L & = \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \sum _s \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) E _p ( 1 - 2 s ) \\ & = \frac{1}{2} \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) \end{align}$$ Tanto la partícula como la antipartícula del neutrino contribuyen positivamente a la carga. $T _3$. Además, solo contribuye un espín para cada una de las partículas. Esto se debe a que estamos trabajando en el límite sin masa y no tenemos partículas dextrógiras (o antipartículas dextrógiras).

En total tenemos (añadimos trivialmente el conjugado hermitiano),

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int \,d^3x \left( ( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p ) - ( c _p ^\dagger c _p + d _p ^\dagger c _p ) \right) \end{equation}$$ dónde $c ^\dagger$y $d ^\dagger$son los operadores de creación del electrón izquierdo. Por lo tanto, el término positivo cuenta el número de neutrinos y el término negativo cuenta el número de electrones. Cada uno aumenta o disminuye la carga en $1/2$.