Misma masa en cada extremo de un resorte

Question

Misma masa en cada extremo de un resorte

usuario44322

Estoy tomando física este término y esta es la primera vez que tomo física en 3 años. Aquí está mi pregunta de tarea (por supuesto, todas esas variables tienen valores, pero usaremos variables por ahora):

Considere el siguiente oscilador macroscópico: dos masas de igual masa $m$ , están unidos a un resorte y oscilan con amplitud $A$ , a una frecuencia $v$ . Usa la física clásica para calcular la energía del oscilador.

Así es como lo hice. ¿Alguien puede decirme si mi solución es correcta?

Dado que la pregunta no decía dónde están las masas y en qué entorno, asumí que están en cualquier extremo del resorte y que el entorno no tiene fricción. Dejar $k$ Sea la constante del resorte. Para cada uno de los bloques, tenemos la ecuación diferencial $m\frac{d^2x}{dt^2}=-k(2x)$ . esto tiene la solucion $x(t)=A\cos(\sqrt{\frac{2k}{m}}t)$ . Por lo tanto, la frecuencia es $\frac{\sqrt{\frac{2k}{m}}}{2\pi}$ . Igualando esto a $v$ , podemos encontrar el valor de $k$ . Por lo tanto, la energía del oscilador es $\frac{1}{2}k(2A)^2$ .

Editar: Mi principal preocupación es mi cálculo de $k$ . Porque traté de buscar una pregunta similar y encontré el http://www.uccs.edu/~rtirado/Ch14%20ISM.pdf problema 99. Su cálculo no involucra $2\pi$ en cualquier lugar. ¿Puede alguien explicarme eso?

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usuario4552

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Respuestas (2)

Misma masa en cada extremo de un resorte

Miguel · Answer 1

Tu respuesta $E=2kA^2$ es correcta para la energía total del sistema (energía cinética de las dos masas y energía elástica del oscilador). En este problema, la suma de dichas energías es constante según la ley de conservación de la energía , de modo que $E=T+V$ . Esto significa que la energía del oscilador aumentará y disminuirá a veces, de modo que cuando se suma a la energía cinética, su suma permanece constante e igual a $E$ .

Mi enfoque para este problema sería comenzar escribiendo la energía potencial del oscilador como una función de las coordenadas del problema unidimensional. Dejar $l$ Sea el alargamiento del oscilador, $l(x_1,x_2)=x_2-x_1$ , y $x_i$ las posiciones de las masas en cada extremo del oscilador en cualquier momento $t$ : $V = \frac{1}{2}k{l^2}\left( {{x_{1,}}{x_2}} \right) = \frac{1}{2}k\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2}} \right)$ .

Aquí $x_i(t)=A_i\cos(\omega_it+\phi_i)$ y $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ . En este problema se puede deducir que ambas masas oscilan a la misma frecuencia y con la misma amplitud si se dan las mismas condiciones iniciales. En cuanto a la energía cinética de las dos masas, tenemos $T = \frac{1}{2}m\left( {{{\dot x}_1}^2 + {{\dot x}_2}^2} \right)$ .

Como la conocemos, $E = T + V = {\rm{const.}}$ y es trivial que la energía potencial del oscilador "oscile" entre 0 (energía cinética máxima) y algún valor $V_\rm{max}$ (energía cinética cero). La energía potencial máxima será igual a la energía total del sistema. El máximo ocurrirá cada vez $\cos^2 \left( {\omega t + \phi } \right) = 1$ , lo que ocurrirá dos veces en cada período de la oscilación.

Por lo tanto $E=V_{\rm max}=\frac{1}{2}k\left( {{A^2} + {A^2} + 2{A^2}} \right) = 2k{A^2}$ . En cualquier otro momento, la energía potencial es menor que esta y la energía cinética es mayor, por lo que la suma permanece constante. Si hicieras un diagrama de ambas energías, se vería así:

ingrese la descripción de la imagen aquí

y cual es el valor de $k$ ? También, $l^2(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2$ Además, ¿cómo dedujiste lo que $x_i(t)$ ¿es?
$\omega = 2\pi \nu = \sqrt {\frac{k}{m}} \Rightarrow k = 4{\pi ^2}{\nu ^2}m$ . $l(x_1,x_2)=x_2-x_1$ que es la distancia entre las dos masas en el $x$ -dimensión. Deducir $x_i(t)$ tienes que resolver el problema dinámico, es decir, la ecuación diferencial de movimiento que resulta de las ecuaciones de Euler-Lagrange (o la segunda ley de Newton en un curso menos detallado).

usuario24975 · Answer 2

Creo que como no se da nada explicativo: $A$ es la amplitud de 1 masa o ambas tienen amplitudes separadas A/2 que causan una extensión neta como $A$ .

Deberíamos hacer esto por masa equivalente. La masa equivalente/reducida del sistema es

(metro * metro) / (metro + metro) = metro / 2

$(m*m)/(m+m)=m/2$

Entonces,

w = \sqrt{k / (metro / 2)}

$w=\sqrt{K/(m/2)}$ obtendremos la frecuencia y

K

$K$

Entonces, la energía es

mi = k A^{2} / 2

$E=kA^2/2$

Tal vez este mal....

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usuario44322

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