Medida directa de S2S2\mathbf S^2

La técnica para medir un observable depende en gran medida del sistema específico en cuestión. Voy a ofrecer una forma de medir$S^2$para un sistema de ejemplo particular, a saber, el átomo de hidrógeno.

Considere lo que normalmente consideramos como el estado fundamental del átomo de hidrógeno:$|n, l, m_l \rangle = |1, 0, 0\rangle$. Por supuesto, el electrón también tiene un espín:$s_e = 1/2$, y también lo hace el único protón que forma el núcleo:$s_p = 1/2$. La interacción hiperfina entre el espín nuclear$I = s_p = 1/2$y el giro electronico$s_e = 1/2$produce una base propia diferente para el hamiltoniano total que es en términos del espín total$F = s_e + I = s_e + s_p$(considerando solo el$l=0$orbital).

Por adición de las reglas del momento angular,$F$puede tomar un valor de 0 o 1, y estos dos estados (singlete o triplete, respectivamente) se dividen en energía por el desdoblamiento hiperfino (correspondiente a 21 cm de radiación ). Así que el problema ahora de medir$F^2$se reduce a identificar en cuál de los dos niveles de energía se encuentra el átomo. Por supuesto, para hacer una medición proyectiva pura del$F^2$el operador no es trivial.

Aquí está el problema: el$F=0$singlet tiene un solo nivel:$|F = 0, m_F = 0\rangle$. Por otro lado, a una energía diferente es el$F=1$triplete, que tiene tres estados:$|F=1, m_F=-1\rangle, |F=1, m_F = 0\rangle, |F=1, m_F = 1\rangle$. Por lo tanto, el átomo de hidrógeno puede estar en una superposición de todos estos estados:

$$|\psi\rangle = a|0, 0\rangle + b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

si medimos$F^2$y encontrar$F = 0$(lo que ocurre con probabilidad$|a|^2$), entonces proyectamos el estado$|\psi\rangle \to |0, 0\rangle$.

Alternativamente, si medimos$F^2$y encontrar$F=1$(la probabilidad de que esto suceda es$1 - |a|^2$), entonces proyectamos en el estado

$$|\psi\rangle \to \frac{1}{|b|^2 + |c|^2 + |d|^2} (b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

Entonces, en el contexto del átomo de hidrógeno, aquí hay una forma de hacer una medición tan proyectiva: sintonice un láser a la frecuencia correspondiente a la diferencia de energía entre el$|0, 0\rangle$estado (en$|n, l, m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$) y algún nivel de energía superior (como un nivel con$n = 2$). Aplique el láser por un corto tiempo al átomo de Hidrógeno y detecte con mucho cuidado si el átomo de Hidrógeno emite espontáneamente algún fotón.

Si emite un fotón, entonces reinicie el átomo al estado fundamental$|n,l,m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$y$|F, m_F\rangle = |0, 0\rangle$.

Si no emite un fotón, entonces ha proyectado el estado del átomo en solo la porción de estados con$F = 1$.

Combinando ambos resultados posibles, el resultado final es ahora equivalente a una medida proyectiva ideal de$F^2$sobre el estado$|\psi\rangle$.

Nota: este no es realmente un experimento factible, ya que los fotones individuales emitidos espontáneamente son muy difíciles de detectar, pero transmite una idea de cómo este tipo de mediciones se pueden realizar en la práctica.