Mediciones de energía en un sistema de pozo doble de dos fermiones

Su confusión es completamente apropiada. Está lejos del QM escolar, la mayoría ni siquiera notaría la discrepancia y viviría feliz con las inconsistencias resultantes.

El entrelazamiento no es aplicable a esta situación, ya que el espacio de Hilbert en cuestión no es un producto tensorial.

Solo puede entrelazar propiedades de un sistema compuesto que se describen mediante un producto tensorial completo. Pero los estados de partículas idénticas solo constituyen la parte antisimétrica de un producto tensorial; por lo que toda la maquinaria común sale mal.

La situación se explica en detalle en la sección ''Partículas indistinguibles y entrelazamiento'' del Capítulo B3: Conceptos básicos sobre campos cuánticos de A FAQ de física teórica , que finaliza con:

Pero si, en un nivel más práctico, uno sabe ya que (por preparación) hay dos electrones o dos fotones, uno moviéndose hacia la izquierda y otro moviéndose hacia la derecha, uno puede usar esta información para distinguir los electrones o fotones. : Las partículas ahora se describen por estados en el producto tensorial de dos espacios de Hilbert efectivos independientes, mucho más pequeños, con unos pocos grados de libertad locales cada uno (en lugar de un único espacio de Hilbert antisimetrizado de 2 partículas con grados de libertad para cada par de posiciones) , lo que los convierte en objetos efectivos distinguibles. Por lo tanto, se puede asignar información de estado separada a cada uno de ellos y construir superposiciones arbitrarias de los estados resultantes del producto tensorial. Estas partículas efectivas y distinguibles pueden estar (y normalmente lo están) enredadas”.

[editar después de la discusión a continuación] Actualicé mis preguntas frecuentes para brindar más detalles, usando giros en lugar de sus energías, lo que hace que la situación sea más realista. Cito los pasajes pertinentes:

“Por ejemplo, dos electrones son indistinguibles en el nivel fundamental; su función de onda conjunta es proporcional a |12>-|21>; no se permite ninguna otra forma de superposición. [...] Por lo tanto, es imposible proyectarlo por medición a un estado separable, como siempre suponen las discusiones sobre el entrelazamiento".

Las discusiones realistas sobre el entrelazamiento en la teoría cuántica de la información generalmente consideran el entrelazamiento de los grados de libertad de espín/polarización de los fotones localizados transversalmente en diferentes rayos, electrones localizados en puntos cuánticos, etc. Por ejemplo, dos electrones en dos puntos cuánticos$dot_1$y$dot_2$están en el estado antisimetrizado

$|\psi_1,\psi_2\rangle := |\psi_1,dot_1 \rangle \otimes |\psi_2,dot_2 \rangle- |\psi_2,dot_2 \rangle\otimes|\psi_1,dot_1\rangle$

en el espacio de 2 partículas (dependiendo de 6 coordenadas además de los giros, este último representado por$\psi_1$y$\psi_2$), pero como las posiciones se ignoran (solo se usan para identificar qué electrón está dónde), se tratan como electrones efectivos en el estado de 2 partículas$\psi_1 \otimes\psi_2$que reside en el diminuto producto tensorial de 4 dimensiones$C^2\otimes C^2$. Si el giro se mide en$dot_1$, la parte giratoria$\psi_1$colapsa hacia arriba, etc. Tenga en cuenta que no hay medición de posición involucrada en la observación del giro, ya que los puntos cuánticos ya (y permanentemente) han medido la presencia de una partícula en cada punto.

Por lo tanto, en este pequeño espacio efectivo, hablar de entrelazamiento de electrones tiene sentido, ya que ignorar la posición (responsable de la antisimetrización) reduce el espacio de estado a un producto tensorial. Pero en el espacio completo de 2 partículas, el intento de razonar con entrelazamiento falla en el nivel formal y es, en el mejor de los casos, paradójico si se considera informalmente.

Edit2 (13 de marzo de 2012): La representación aproximada mencionada en la respuesta de Lubos es esencialmente la misma que la representación reducida exacta en mi respuesta, si identificamos pozo izquierdo = punto_1 y pozo derecho = punto_2. Es una descripción reducida que da cuenta del conocimiento de que un electrón está en cada pozo y tiene que permanecer allí debido a las paredes del pozo. (Si las paredes fueran infinitamente altas, su representación sería exactamente la misma). Esto significa tener una forma de distinguir los electrones, de modo que uno pueda usar un espacio de Hilbert producto tensorial más pequeño dentro del gran espacio de Hilbert antisimétrico para (aproximadamente o exactamente, dependiendo de la forma del pozo) describen los grados de libertad que quedan.

En mi respuesta anterior, tomé como único dof a la izquierda los giros, ya que esta es la situación que prevalece en la teoría cuántica de la información. Sin embargo, el espacio de Hilbert reducido puede tener en cuenta otros grados de libertad. Siempre que estos grados de libertad adicionales sean locales para cada pocillo/punto, todavía se tiene la estructura del producto tensorial y, por lo tanto, una configuración en la que el entrelazamiento tiene sentido y en el que se puede considerar preparar un estado entrelazado de 2 electrones.

No estoy totalmente en desacuerdo con la respuesta del Dr. Neumaier; de hecho, es cierto que el entrelazamiento solo puede discutirse para espacios de Hilbert que son productos tensoriales.

Sin embargo, si las dos partes del pozo están lo suficientemente distantes, este es también el caso de su situación. Cuando uno lo ve de esta manera aproximada, la respuesta es que los electrones, suponiendo que solo ocupaste un estado de espín, por ejemplo, ambos electrones están girando hacia arriba, no están entrelazados .

¿Por qué?

El espacio de Hilbert con dos pozos ampliamente separados que pueden almacenar electrones es aproximadamente el producto tensorial

$${\mathcal H} = {\mathcal H}_\text{left well} \otimes {\mathcal H}_\text{right well}$$

Los dos espacios de Hilbert producto individuales no están del todo bien definidos: uno no quiere discutir la teoría cuántica de campos en una "región del espacio" debido a los problemas con las condiciones de contorno (el "gran" espacio de Hilbert no restringe los campos cerca de los límites alrededor de los pozos mientras que los espacios de Hilbert más pequeños tienen que imponer algunas condiciones de contorno, por lo que la factorización anterior no puede ser exacta).

Sin embargo, siempre que estas condiciones de contorno no sean un problema (por ejemplo, porque se garantiza que todo está casi totalmente confinado cerca del pozo y nada se acerca lo suficiente a estos límites), el espacio de Hilbert se factoriza de esta manera, al igual que el declara que escribiste:

$$|\psi\rangle = |\text{1 electron}\rangle_\text{left well} \otimes |\text{1 electron}\rangle_\text{right well}$$ Tenga en cuenta que el problema de un solo electrón solo tiene un estado fundamental: aquí no hay degeneración, ni siquiera aproximada.

El sistema se compone simplemente de dos sistemas independientes, dos pozos en dos regiones diferentes, que no están correlacionados ni entrelazados en absoluto. En la teoría cuántica de campos, el estado del producto tensorial anterior podría escribirse como$a^\dagger_\text{left well} a^\dagger_\text{right well}|0\rangle$donde los dos operadores de creación no llevan ninguna etiqueta y están compuestos por operadores de campo cerca de los dos pozos, respectivamente. Un estado no entrelazado se define como uno que se puede escribir como un producto tensorial y eso es exactamente lo que podemos hacer aquí (en la aproximación de dos regiones).

No violamos el principio de exclusión de Pauli aquí de ninguna manera porque en esta descripción aproximada de dos regiones del sistema, el número cuántico binario "posición aproximada" (que es "cerca del pozo izquierdo" o "cerca del pozo derecho") juega el mismo papel que el espín u otros números cuánticos. Los dos electrones tienen diferentes valores propios de "posición aproximada", por lo que pueden estar exactamente en el mismo estado cuando se trata de energía, espín y todos los demás números cuánticos.

Este número cuántico adicional es también la razón por la que tiene dos estados cercanos de baja energía del problema de los dos pozos. Hay un espacio de Hilbert bidimensional para un solo electrón dividido por estados propios de energía con energías$E_1,E_2$: los vectores propios correspondientes son funciones "pares" o "impares" de la posición (las funciones de onda tienen el mismo signo en ambos pozos o el signo opuesto). En la aproximación en la que el espacio entre los pozos es impenetrable y las condiciones de contorno de las regiones no plantean ningún problema, tenemos$E_1=E_2$y el espacio de Hilbert bidimensional también puede generarse a partir de otra base que contenga el estado fundamental del pozo izquierdo y el estado fundamental del pozo derecho. En esta aproximación, solo estamos llenando dos estados que solo se diferencian por la "posición aproximada" por el número máximo de dos electrones.

la desigualdad$E_1\neq E_2$en su tratamiento exacto, solo surge porque hay una amplitud de probabilidad distinta de cero para que un electrón haga un túnel de un pozo al otro. Si no pudiera hacer un túnel, tendríamos la "duplicación" exacta del espacio de Hilbert para un solo electrón. Por la misma razón, no se puede medir la energía "en un solo pozo" con la precisión necesaria para distinguir$E_1$y$E_2$.

Si su aparato de medición está confinado a la vecindad de un pozo, el error en su medición de energía no puede ser menor que$E_1-E_2$por lo tanto, no podrá decir "en cuál de los dos estados cercanos" se encuentra el electrón. Lo mismo se aplica a la vecindad del otro pozo, por lo que la medición en un pozo no puede influir en nada detectable cerca del otro pozo. .

La imposibilidad de distinguir$E_1$y$E_2$por una medición cerca de un solo pozo es fácil de probar; si mide el electrón cerca del pozo izquierdo, con cualquier energía baja cerca$E_1$o$E_2$, está demostrando que este electrón está en un estado propio de la "posición aproximada". Pero el operador de "posición aproximada" no conmuta con la energía total; el estado propio$|\text{left well ground state}\rangle$es una superposición lineal de$|E_1\rangle$y$|E_2\rangle$autoestados (es la superposición lineal correcta que desaparece cerca del otro pozo), algo así como

$$|\text{left well ground state}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |E_1\rangle - |E_2\rangle \right )$$ Si ha medido la "posición aproximada", no está totalmente seguro del valor propio de la "energía exacta" porque estos dos operadores no se conmutan entre sí; un caso de libro de texto del principio de incertidumbre. Si los dos pozos tienen la misma profundidad, etc., al ver un electrón cerca del pozo izquierdo, tiene un 50% de probabilidades de que su energía sea $E_1$y 50% de probabilidades de que fuera $E_2$y no se puede cambiar nada sobre estas probabilidades porque se derivan de la ecuación que se muestra arriba.

En términos de operadores, podemos decir que en la base "estado fundamental del pozo izquierdo" y "estado fundamental del pozo derecho", el operador de "energía exacta" parece

$$H = \frac{E_1+E_2}{2}\cdot{\bf 1} + \frac{E_1-E_2}{2} \cdot \sigma_1$$ donde el segundo término es proporcional a una matriz fuera de la diagonal similar a las dos primeras matrices de Pauli. No es diagonal en esta base, por lo que si sabemos que encontramos un electrón cerca del pozo izquierdo, sabemos que su "energía exacta" (ya sea $E_1$o $E_2$) es máximamente incierto. Y viceversa. Si encontramos un electrón en el estado $E_1$, y estamos seguros de que no lo es $E_2$, entonces este electrón debe estar en una función de onda distinta de cero cerca de ambos pozos, por lo que no aprendemos nada sobre la "posición aproximada" (izquierda o derecha) que sigue siendo máximamente incierta.

Si hacemos una medición de un electrón cerca del pozo izquierdo, la conclusión correcta que la antisimetría o el principio de Pauli nos permite predecir es que el otro electrón está en el pozo derecho. Es así de simple. Pero saber que está en un pozo en particular es incompatible con saber si está o no en el$E_1$o$E_2$estado propio porque los operadores correspondientes a estas preguntas no conmutan entre sí.

Si varios electrones están en regiones muy diferentes del espacio, el principio de exclusión de Pauli se vuelve intrascendente, por supuesto: los electrones se distinguen efectivamente por su ubicación. Entonces, la dimensión del espacio de Hilbert para los dos pozos separados es el producto simple de las dimensiones de los espacios de Hilbert para los pozos individuales; no hay "antisimetrización" adicional que debamos hacer aquí porque estamos discutiendo "bloques fuera de la diagonal" de una matriz y la parte antisimétrica del estado se esconde en la convención sobre cómo etiquetamos los dos electrones.

Pero para poder ver la situación de esta manera factorizada, tuve que organizar el espacio de Hilbert como un producto tensorial de piezas que corresponden a regiones individuales. Si organizamos el espacio de Hilbert de acuerdo con "electrones individuales que a priori pueden estar en cualquier lugar", en realidad no podemos hablar sobre el entrelazamiento porque el espacio de Hilbert total de muchos electrones no es un producto tensorial de los espacios de los electrones individuales. : es la antisimetrización de la misma.

Las definiciones más simples y estrictas de entrelazamiento no se aplican a tales espacios tensoriales antisimetrizados. Todavía existe una convención natural de que si tenemos espacios de Hilbert producto tensorial antisimetrizados (o simetrizados), aún consideramos la antisimetrización (o simetrización) de un estado de producto tensorial como un estado no entrelazado. Esto incluye su estado. Tal definición tenderá a producir veredictos similares al procedimiento basado en el campo cuántico (compuesto por varias regiones) que describí anteriormente.

En cualquier caso, no encontrará ninguna forma útil de argumentar que (y por qué) estos dos electrones están entrelazados: no estamos aprendiendo ninguna información nueva (como el espín) sobre "el electrón en el lado izquierdo". por lo que esta "sin información" no se puede enredar con ninguna información del pozo derecho (que también está vacío). La cuestión de si hay enredos aquí está mal definida o no están enredados. E incluso si encontrara una definición (artificial) que le permitiera decir que el estado simple está enredado, tal "enredo" no tendrá consecuencias físicas. Dos regiones muy separadas (o pozos) son independientes. En particular, las leyes de la teoría cuántica de campos son exactamente locales, por lo que una medida o decisión tomada cerca de uno bien gana.

Para resumir y responder a sus preguntas:

1. Encontrar un electrón en el estado fundamental del pozo izquierdo significa que tiene un 50% de probabilidades de estar en el$E_1$estado y el 50% estar en las cercanías$E_2$estado del problema del doble pozo; no podemos distinguir simultáneamente izquierda-derecha así como$E_1$contra$E_2$porque los operadores correspondientes se niegan a conmutar entre sí. (Digo "rechazar", no "fallar", porque es un derecho sagrado, y la situación dominante, que dos operadores no conmuten. No tienen el deber de conmutar en mecánica cuántica, por lo que un conmutador distinto de cero no es una falla, ¿verdad? no está mal de ninguna manera). Si encontramos un electrón cerca del pozo izquierdo, lo que la antisimetría nos permite decir es que el segundo electrón está cerca del pozo derecho, y viceversa. Pero las mediciones vinculadas a una de las dos regiones no pueden decirnos sobre la energía exacta de un electrón (y, por lo tanto, tampoco nos dice nada sobre la energía del otro)

2. En la descripción de "electrones individuales", no se puede hablar de entrelazamiento porque el espacio de Hilbert completo es una antisimetrización (versión reducida) del producto tensorial, no del producto tensorial completo. En la descripción aproximada de la teoría cuántica de campos en dos regiones, el gran tensor espacial de Hilbert se factoriza y el estado de dos electrones (que ocupa los dos estados inferiores) no se entrelaza. Si el estado inicial no está entrelazado y la evolución del sistema cuántico respeta la localidad (y la teoría cuántica de campos lo hace), no se puede crear ningún entrelazamiento por acciones realizadas cerca de uno u otro pozo. El enredo es siempre una consecuencia del contacto de los dos subsistemas en el pasado.

3. Sí, como dije, tienes toda la razón: si sabemos que un electrón está cerca del pozo izquierdo, las probabilidades de que esté en el$E_1$estado de dos pozos o el cercano$E_2$el estado de dos pozos es exactamente del 50% para ambos casos. La izquierda contra la derecha y$E_1$-vs-$E_2$no se puede medir simultáneamente como$J_z$y$J_x$los componentes del giro no pueden; de hecho, estos dos ejemplos son totalmente matemáticamente isomorfos.

Una versión de blog de esta respuesta mía está aquí;

http://motls.blogspot.com/2012/03/energy-measurements-in-two-fermion.html#more

Ya respondí esta pregunta para el caso "real" de dos electrones con espín, pero Lubos me asegura que el OP quería decir que yo considerara el caso sin espín. No estoy seguro de cómo se vería eso... si no hay espín, los electrones son bosones y no existe el principio de exclusión de Pauli. Pero Lubos explica además en su comentario que debemos considerar el caso "incrustado" de todos los electrones girando hacia arriba, donde quiere decir que este caso está "incrustado" en la realidad del giro arbitrario... simplemente nos limitamos a mirar casos donde el giro está arriba.

Lo he hecho ahora, y todavía no parece nada reconocible de las otras respuestas publicadas. Comienzo mirando el caso de dos átomos de hidrógeno con un electrón. Eso no es demasiado difícil; y obtenemos algo como lo que dice la gente, donde hay dos niveles de energía muy juntos:

El caso simétrico es el estado fundamental verdadero, y un solo electrón en el estado fundamental se comparte por igual entre los dos átomos. Si observas el electrón en uno u otro átomo, entonces no está en el estado fundamental, está en una superposición. Si lo encuentra en el átomo izquierdo, entonces es la suma de los estados simétricos y antisimétricos. Si lo encuentras en el átomo correcto, es la diferencia. Dado que la fase compleja de dos estados precede a diferentes velocidades, lo que ahora es la suma será más tarde la diferencia: por lo tanto, un electrón que se encuentre a la izquierda eventualmente aparecerá a la derecha.

Si agregas un segundo electrón, es diferente. Ambos electrones pueden ocupar el mismo estado si sus espines son opuestos, pero Lubos asegura que debemos restringirnos a aquellos casos en los que ambos electrones tienen espines elevados. Eso nos lleva de vuelta a la respuesta que publiqué anteriormente, para el caso arbitrario en el que hay cuatro niveles de energía. Solo uno de esos casos permite que ambos giros estén arriba... es mi Estado III. Técnicamente, no puedes decir que un electrón está en A y el otro en B; hay que decir que los electrones están en una superposición de estados donde A está aquí y B está allá, y viceversa.

De cualquier manera, solo hay un estado. No hay superposiciones como E1E2 - E2E1, como dijo el OP y Lubos y Arnold fueron a la ciudad. No puedo imaginar de qué está hablando la gente.

No me queda claro que las respuestas publicadas hasta ahora aborden la pregunta del OP. Encuentro que el OP no tiene un sistema de representación adecuado para los posibles estados. No hay dos estados propios de energía sino cuatro: el estado fundamental verdadero, que es un estado de espín singlete, y tres estados más muy cercanos al estado fundamental, que son estados tripletes. Habla de una superposición de dos estados propios de energía como si los hubiera combinado para formar un estado anti-simetrizado... parece estar tratando de construir el estado singulete a partir de los estados de energía, pero no funciona de esa manera. El estado singlete se construye a partir de los estados de posición... A-arriba/B-abajo, etc.; y cuando los combina correctamente, obtiene el estado singulete que, de hecho, es el estado propio de energía más bajo.

Toda la diversión sucede cuando obtienes un sistema de dos átomos separados en este estado singulete. Si mide el giro de uno, entonces el giro del otro debe convertirse instantáneamente en opuesto. Todas las maravillosas paradojas de las que a todo el mundo le gusta hablar surgen de esta situación. Sin embargo, hay un par de problemas. No es tan fácil medir el giro de un electrón. No me importa lo que digan los demás: no es tan fácil. Y no creo que nadie conozca una forma, ni siquiera en principio, de preparar un sistema de dos átomos de hidrógeno en el estado de espín singulete. No dudo que tales pares existan en la naturaleza: simplemente no creo que haya ninguna forma de aislar tal par y determinar que efectivamente se encuentra en el estado singulete, al menos no sin destruir ese estado en el proceso.

Coloqué algunos bocetos en mi blog para mostrar cómo son los estados básicos para un sistema de dos átomos de hidrógeno. Tuve algunos problemas para hacerlo bien , porque es un poco confuso, pero estoy bastante seguro de que mi versión final es correcta. Esta es la imagen que se me ocurrió: se supone que se explica por sí misma, pero probablemente ayudaría mirar mi blog. El estado singlete es el que está encuadrado en verde; los estados triples están en púrpura: