¿Cómo usar la expresión general de fuerza entre dos circuitos para encontrar la fuerza entre dos cables?

Question

¿Cómo usar la expresión general de fuerza entre dos circuitos para encontrar la fuerza entre dos cables?

Sørën

La expresión general de la fuerza entre dos circuitos. $1$ y $2$ con corrientes $i_1$ y $i_2$ y con elementos de línea $\bf{dl_1}$ y $\bf{dl_2}$ (vectores infinitesimales que apuntan en la dirección de la corriente) es el siguiente. La fuerza ejercida por $1$ en $2$ es :

\begin{matrix} (1) & F_{1, 2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{r_{1, 2}} (d {yo}_{1} \cdot d {yo}_{2})}{r_{1, 2}^{2}} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \oint_{1} \oint_{2} \frac{\hat{r_{1,2}} ( \bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2})}{\mathrm{r^2_{1,2}}} \tag{1}$

Dónde $\hat{r_{1,2}}$ es el vector unitario que va de $1$ a $2$ y $r_{1,2}$ es la distancia entre los dos puntos de los circuitos considerados durante la integración.

Entiendo la fórmula, sin embargo, no puedo ver cómo usarla para encontrar la fuerza por unidad de longitud entre cables infinitamente largos paralelos con corrientes $i_1$ y $i_2$ . La fuerza ejercida por $1$ en $2$ en ese caso es:

\begin{matrix} (2) & \frac{F_{1, 2}}{yo} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{2 π r_{1, 2}} \hat{r_{1, 2}} \end{matrix}

$\frac{\bf{F_{1,2}}}{\mathit{l}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi \,\,\mathrm{r_{1,2}}}}\hat{r_{1,2}}\tag{2}$

es facil de encontrar $(2)$ de otras maneras, pero me gustaría saber cómo usar $(1)$ en este caso particular.

Por lo tanto, la pregunta es: cómo usar $(1)$ encontrar $(2)$ ?

intento: aquí $\bf{dl_1} \cdot \bf{dl_2}= |dl_1|\,\,| dl_2|$ y ambos $\bf{\hat{r_{1,2}}}$ y $r_{1,2}$ son constantes, por lo que debería ser sólo

\begin{matrix} (3) & F_{1, 2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} \frac{\hat{r_{1, 2}}}{r_{1, 2}^{2}} \oint_{1} d {yo}_{1} \oint_{2} d {yo}_{2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} \frac{\hat{r_{1, 2}}}{r_{1, 2}^{2}} {yo}^{2} \end{matrix}

$\bf{F_{1,2}}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \oint_{1} \mathrm{dl_1} \oint_{2} \mathrm{dl_2}= \mathrm{\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4 \pi}} \frac{\hat{r_{1,2}} }{\mathrm{r^2_{1,2}}} \mathit{l^2} \tag{3}$

Suponiendo que la longitud del cable (aproximada como infinitamente larga, es $l$ ). No obstante el resultado en $(3)$ es bastante diferente de $(2)$ y no veo donde me equivoco.

Respuestas (1)

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nada · Answer 1

$r_{1,2}$ es la distancia (de carrera) de los elementos de línea infinitesimales $l_1$ y $l_2$ (lo último lo podemos interpretar como posiciones en un eje definido por la dirección de los cables), por lo que no podemos arrastrarlo fuera de las integrales.

Decir $R$ es la distancia entre los dos cables. De Pitágoras obtenemos la regla

r_{1, 2}^{2} = R^{2} + ({yo}_{2} - {yo}_{1})^{2} .

$r_{1,2}^2 = R^2 + (l_2-l_1)^2.$ Ahora primero saca

{\hat{R}}_{1, 2}

$\mathbf {\hat R_{1,2}}$ como el vector unitario general, ya que sabemos que esto resultará de "promediar" sobre todos

l_{1}

$l_1$ ,

l_{2}

$l_2$ : (aunque no estoy muy seguro de esto)

F_{1, 2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} d {yo}_{1} \int_{2} d {yo}_{2} \frac{1}{r_{1, 2}^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{r_{1,2}^2}$

Ahora aplique la sustitución de $r_{1,2}$ :

F_{1, 2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} d {yo}_{1} \int_{2} d {yo}_{2} \frac{1}{R^{2} + ({yo}_{2} - {yo}_{1})^{2}}

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \int_2 dl_2 \frac{1}{R^2 + (l_2-l_1)^2}$

resolviendo el $l_2$ integral nos da un arcustangens:

F_{1, 2} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 π} {\hat{R}}_{1, 2} \int_{1} d {yo}_{1} (- \frac{1}{R} arcán \frac{{yo}_{1} - {yo}_{2}}{R} |_{{yo}_{2} = - \infty}^{+ \infty})

$\mathbf F_{1,2} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{4\pi} \mathbf { \hat R_{1,2} } \int_1 dl_1 \left( - \frac{1}{R} \arctan{\frac{l_1-l_2}{R}} \vert_{l_2=-\infty}^{+\infty} \right)$

el arctan se convierte $-\pi$ de $l_2$ evaluación de límites; por lo que el resultado seria:

\frac{F_{1, 2}}{yo} = \frac{m_{0} i_{1} i_{2}}{4 R} {\hat{R}}_{1, 2}

$\frac{\mathbf F_{1,2}}{l} =\frac{\mu_0 i_1 i_2}{4R} \mathbf { \hat R_{1,2} }$

Esto difiere sólo por un factor de $2/\pi$ de la verdadera solución. Así que supongo que solo hay un pequeño problema que no hemos considerado. (Por ejemplo, ¿estamos realmente seguros de que la ecuación de circuito cerrado es aplicable aquí?)

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Sørën

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nada

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