¿Qué es el flujo magnético? ¿Cómo se relaciona con la ley de Faraday?

El flujo magnético y la ley de Faraday se definen puramente matemáticamente. Debido a que las definiciones matemáticas generalmente tratan con conceptos idealizados , comienzan a surgir problemas sutiles cuando tratamos de aplicar tales definiciones a situaciones físicas más complicadas. En particular, generalmente necesitamos algunos principios físicos para acompañar las matemáticas; la física nos dice cómo aplicar las matemáticas.

El flujo magnético y la ley de Faraday son buenos ejemplos de tales sutilezas y complicaciones. Revisaré las definiciones cuidadosamente, señalando los obstáculos y luego regresaré a la rueda de Faraday. Lo más importante, cuando se habla de la rueda de Faraday, hay una sutileza que requiere información adicional de la física, que es cómo definir un circuito.

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Empezamos con la definición matemática de flujo:

$$\begin{equation} \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A}. \end{equation}$$ probablemente sepas que $\vec{B}$es el vector de campo magnético, $d\vec{A}$es el elemento de área diferencial (cuya dirección es normal a la superficie con alguna elección continua de dirección "hacia afuera" o "hacia adentro"), y $S$es la superficie sobre la que se realiza la integral. Hay numerosas idealizaciones integradas en esta integral. Entre ellos, asumimos que sabemos exactamente cómo delimitar esta superficie con un espesor exactamente cero y límites perfectamente definidos.

Esto puede plantear problemas sutiles cuando tratamos de hablar sobre situaciones físicas reales. Por ejemplo, podríamos querer hablar sobre el flujo a través de un bucle de alambre. Pero un cable físico tiene un grosor distinto de cero. ¿Debe la superficie de integración terminar en el centro del alambre? ¿En su borde exterior? ¿Cómo se especifica el borde exterior si el cable no está en un plano? Con frecuencia escuchará a personas decir que la ley de Faraday solo se aplica a cables "infinitamente delgados". Sugeriría que es más correcto decir que la ley de Faraday solo se aplica ingenuamente a cables delgados; se puede utilizar en situaciones más generales con una aplicación cuidadosa.

A continuación, llegamos a la Ley de Faraday , que relaciona la fuerza electromotriz$\mathcal{E}$y el límite de su superficie a la derivada temporal del flujo magnético como

$$\begin{equation} \mathcal{E} = \int_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B} {\mathrm{d}t}, \end{equation}$$ dónde $\partial S$es el límite de la superficie que usamos para definir el flujo. Hay algunas sutilezas más aquí. En primer lugar, y de manera muy sencilla, debe ser muy específico acerca de la superficie y el límite con el que está tratando. En segundo lugar, la derivada es la derivada total , en lugar de la derivada parcial . Esto puede ser importante cuando la superficie de integración cambia en el tiempo y cuando el campo magnético cambia en el espacio y el tiempo.

Esa última parte es un tema realmente sutil, aunque se trata de algo tan importante como la forma en que definimos un circuito . Citaré a Jackson para explicarlo: "El campo eléctrico$\vec{E}$es el campo eléctrico en$d\vec{l}$en el sistema de coordenadas o medio en el que$d\vec{l}$está en reposo, ya que es ese campo el que hace que la corriente fluya si un circuito está realmente presente". [ Classical Electrodynamics , tercera edición, sección 5.15]. que se están moviendo, tienes que usar una ruta de circuito cambiante.

Ahora, aplicado a la rueda de Faraday (el generador homopolar), el primer punto es que tienes que definir específicamente la superficie de la que estás hablando y, por lo tanto, el límite de esa superficie. Los estudiantes con frecuencia se precipitan más allá de este punto y toman el disco en sí como la superficie. Pero esto es incorrecto porque el límite de esa superficie es el borde de la rueda, así que técnicamente estarías calculando la fuerza electromotriz alrededorla rueda. Pero estás midiendo el potencial entre el centro y el borde, por lo que la superficie no puede funcionar. En su lugar, debe tomar una superficie cuyo límite pase entre el contacto central y el contacto en el borde, luego salga de cada uno de ellos y pase a algún galvanómetro o algo así. Una opción estándar para la superficie es un cuadrado que sea perpendicular a la rueda, con un borde a lo largo del eje de la rueda y el siguiente borde a lo largo del radio de la rueda. Ahora surge la paradoja cuando te das cuenta de que$\vec{B}$es en realidad paralelo a esta superficie, por lo que$\vec{B} \cdot d\vec{A}$es cero en todas partes y siempre. Entonces sería razonable pensar que

$$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( \vec{B} \cdot d\vec{A} \right) \\ &= \iint_S \frac{d}{dt} \left( 0 \right) \\ &= \iint_S 0 \\ &= 0, \end{align}$$ lo que implicaría $\mathcal{E} = 0$. Pero eso no es lo que se mide. Resulta que la derivación que acabo de dar es incorrecta.

La derivación (incorrecta) anterior utilizó la derivada parcial e ignoró el movimiento de la superficie. Puedes resolver esta paradoja si recuerdas que la derivada en cuestión es la derivada total y que la superficie podría estar en movimiento. Ahora, Jackson nos dijo que necesitamos usar un camino que sea estacionario con respecto al medio . Entonces, la superficie sobre la que estamos integrando se está moviendo con respecto al campo magnético estacionario del que nos han hablado, y necesitamos diferenciar el campo estacionario con respecto a la superficie en movimiento. La forma estándar de describir la derivada total en un material que se mueve con velocidad$\vec{v}$en un punto dado es usar el "derivado material" (también conocido comúnmente como el "derivado convectivo"):

$$\begin{equation} \frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla}. \end{equation}$$ Para ser un poco más específico, usas esta derivada material para obtener la derivada con respecto a las coordenadas en movimiento cuando te dan un campo en coordenadas estáticas. ahora tenemos $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \left( \vec{v} \cdot \vec{\nabla} \right) \vec{B} \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) + \vec{v} (\vec{\nabla} \cdot \vec{B}) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \iint_S \left[ \vec{\nabla} \times \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \right] \cdot d\vec{A} \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l} \end{align}$$ que es distinto de cero. [Para pasar de la segunda a la tercera línea, utilicé una identidad de cálculo vectorial estándar con suposiciones sobre $\vec{v}$para nuestro caso. Para ir del tercero al cuarto, usé el hecho de que $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$. Para llegar a la última línea, utilicé el teorema de Stokes . Recuerda eso $\partial S$es el límite de $S$.]

Alternativamente, podríamos diferenciar con respecto a las coordenadas estacionarias, pero tenga en cuenta que la superficie está cambiando en esas coordenadas. Si miramos un pequeño segmento de la frontera$\Delta \vec{l}$, y supongamos que se mueve con velocidad$\vec{v}$, entonces después de un tiempo$\Delta t$ha pasado, esto ha introducido una nueva cantidad de área en la superficie dada por

$$\begin{equation} \Delta \vec{A} = (\vec{v} \Delta t) \times \Delta \vec{l}. \end{equation}$$ Esto cambia la integral de flujo por $$\begin{equation} \Delta \Phi_B = \vec{B} \cdot \Delta \vec{A} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}) \Delta t, \end{equation}$$ lo que implica $$\begin{equation} \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} = \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \Delta \vec{l}). \end{equation}$$ Ahora podemos tomar los límites de los pequeños $\Delta t$y pequeña $\Delta \vec{l}$, luego integre las contribuciones de todos esos pequeños $\Delta \vec{l}$segmentos alrededor $\partial S$para obtener la derivada total del flujo: $$\begin{align} \frac{d \Phi_B}{dt} &= \int_{\partial S} \vec{B} \cdot (\vec{v} \times d\vec{l}) \\ &= \int_{\partial S} \left( \vec{B} \times \vec{v} \right) \cdot d\vec{l}. \end{align}$$ Para pasar de la primera a la segunda línea, simplemente usé el triple producto escalar habitual . Y este es el mismo resultado que obtuvimos usando la derivada material; de nuevo, es distinto de cero.

No estoy diciendo que nada de esto sea obvio en absoluto; ciertamente no es obvio a partir de las definiciones matemáticas simples que he dado anteriormente. Pero eso es todo sólo matemáticas. El punto clave a recordar al aplicarlo a la física es el punto de Jackson: debe definir su circuito con respecto al medio a través del cual se mueven realmente los electrones.

Realmente no hay nada que nos diga las respuestas a priori , es por eso que los humanos tuvieron que hacer los experimentos para descubrir cómo funciona la física. Hay una discusión bastante buena sobre las sutilezas con respecto a la Ley de Faraday en la página de paradoja de Faraday de Wikipedia , pero la mejor discusión sobre la rueda viene en la página de inducción de Faraday . Y, por supuesto, todos deberíamos leer a Jackson con más atención.

El disco de Faraday es uno de los dos casos que cita Feynman ( conferencias de Feynman en Physics Vol 2, 17.2) en los que se induce una fem pero sin cambios en el enlace de flujo. Estos son casos en los que el circuito no es un bucle claramente definido. Estas excepciones no atacan los cimientos del electromagnetismo: la fem inducida todavía se predice correctamente usando$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$.

Con respecto a los materiales magnéticos, son los cambios en el campo total los que inducen fem en el material, como en el caso de las corrientes de Foucault.