Mecánica Cuántica Perturbativa

En primer lugar, lo remito al libro de texto del Prof. Binney (ver más abajo) que cubre la teoría de la perturbación en la mecánica cuántica en detalle explícito. Al hacer la teoría de la perturbación, perturbamos el hamiltoniano$H^{(0)}$de un sistema que se ha resuelto analíticamente, es decir, se conocen los estados propios y los valores propios. Específicamente,

$$H^{(0)}\to H^{(0)} + \lambda H'$$

dónde$H'$es la perturbación, y$\lambda$es una constante de acoplamiento. ¿Por qué incluir tal constante? Como dice Binney, nos proporciona un "control deslizante" que, cuando aumenta gradualmente hasta la unidad, aumenta la fuerza de la perturbación. Cuando$\lambda = 0$, el sistema no está perturbado, y cuando$\lambda=1$nosotros 'perturbamos completamente el sistema'.

Introducción de una constante de acoplamiento$\lambda$también nos proporciona una manera de referirnos a un orden particular de la teoría de la perturbación;$\mathcal{O}(\lambda)$es de primer orden,$\mathcal{O}(\lambda^2)$es de segundo orden, etc. A medida que aumentamos las potencias de la constante de acoplamiento, esperamos que disminuyan las correcciones. (Es posible que la serie ni siquiera converja.)

Una advertencia: la exigencia de que un acoplamiento$\lambda \ll1$puede no ser suficiente o correcto para asegurar que el acoplamiento sea pequeño; este es solo el caso cuando el acoplamiento no tiene dimensiones. Por ejemplo, si el acoplamiento, en unidades donde$c=\hbar=1$, tenía una dimensión de masa (o energía equivalente) de$+1$, entonces para asegurar un acoplamiento débil necesitaríamos exigir,$\lambda/E \ll 1$, dónde$E$tenía dimensiones de energía. Dichos acoplamientos se conocen como relevantes ya que a bajas energías son altos y a altas energías el acoplamiento es bajo.

• http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/JamesBinney/QBhome.htm

El punto de introducir la constante de acoplamiento$\lambda$es que la serie de perturbaciones en$\lambda$podría no tener radio de convergencia $\geq 1$, es decir, la serie de potencias podría no ser convergente en$\lambda=1$, y por lo tanto, que podría no tener sentido sustituir$\lambda=1$. De hecho, ese suele ser el caso.

Sin embargo, una serie divergente aún tiene sentido como una serie de potencia formal si tenemos un parámetro libre $\lambda$. (Se puede pensar en$\lambda$como un dispositivo de contabilidad conveniente, que realiza un seguimiento del orden perturbativo.) Por supuesto, una serie de potencia formal tiene un uso limitado si no sabemos cómo sumarla.

Sin embargo, una serie de potencias formales divergentes puede ser a su vez una serie asintótica . Si se nos concede que el sistema tiene sentido sin perturbaciones (para que podamos hablar sobre el resultado correcto), aún podría ser el caso de que los primeros términos de la expansión de la serie de potencias perturbativas en$\lambda$puede constituir una excelente aproximación, incluso si la serie de perturbaciones completa en$\lambda$es divergente

Según tengo entendido, la lógica detrás de esto es la siguiente.

Escribimos el hamiltoniano para el sistema perturbado como el hamiltoniano para el no perturbado más alguna perturbación

$$\begin{equation} H = H^{(0)} + H' \, . \end{equation}$$

Suponiendo que la perturbación se aplica gradualmente, introducimos entonces$H(\lambda)$operador

$$\begin{equation} H(\lambda) = H^{(0)} + \lambda H' \, , \end{equation}$$ que es identico a $H^{(0)}$cuando $\lambda = 0$y es identico a $H$cuando $\lambda = 1$, dando así un cambio continuo del sistema imperturbado al perturbado.

Finalmente asumimos que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se cumple para todos$\lambda \in [0, 1]$

$$\begin{equation} H(\lambda) |n(\lambda)\rangle = E(\lambda) |n(\lambda)\rangle \, , \end{equation}$$ y presentamos las expansiones en serie de potencia para $|n(\lambda)\rangle$y $E(\lambda)$Mencionaste.

Últimamente a menudo establecemos$\lambda$igual a 1 si estamos interesados ​​en el sistema completamente perturbado.

En caso$H'$es pequeño en cierto sentido wrt.$H_0$uno suele escribir

$$H(\lambda)=H_0+{\lambda}H'.$$ Si los valores propios de $H_0$se conocen, se obtiene una serie de perturbaciones que expresa los valores propios y los vectores propios de $H$en términos de los de $H_0$. $\lambda$se introduce principalmente para realizar un seguimiento de los términos.

Las complicaciones ocurren en caso de que un valor propio de$H_0$es degenerado y si está incrustado en un continuo.

Existe una vasta literatura al respecto. En los volúmenes de Reed y Simon puedes encontrar mucho sobre el trasfondo matemático.