Estados propios degenerados y valores propios relacionados en la teoría de perturbaciones

Estoy estudiando la teoría de la perturbación independiente del tiempo en la mecánica cuántica y descubrí que no entendía cómo asociar los estados propios degenerados con su corrección específica del valor propio hamiltoniano.

Supongamos que el hamiltoniano completo tiene la forma

H ^ = H 0 ^ + λ V ^
y el hamiltoniano imperturbable H 0 ^ tiene k estados propios degenerados, | 1 ⟩ ⋯ | k ⟩ .

Los valores propios de la matriz subespacial degenerada

V i j = ⟨ i | V ^ | j ⟩ , i , j ∈ [ 1 , k ]
representan las correcciones de valores propios hamiltonianos de primer orden en λ .

Mi pregunta es, ¿cómo es posible asociar los nuevos valores de energía perturbados a los estados propios originales no perturbados?

No estoy seguro de entender tu pregunta. ¿Está preguntando "¿Cómo calculamos los valores propios perturbados en términos de valores propios y estados no perturbados?" o "¿por qué debería ser posible hacer esto?" ¿O está tratando de asociar de alguna manera cada valor propio perturbado con un estado particular no perturbado? ¿O he perdido la marca por completo?
Sí, estoy tratando de asociar valores propios perturbados a estados individuales no perturbados. No sé si tiene algún sentido.

Respuestas (1)

Cuando considera por primera vez un subespacio degenerado de estados que comparten la misma energía de orden cero, realmente no sabe cómo elegirlos de tal manera que se conviertan en los estados de orden cero de su serie de perturbaciones. En la práctica lo que sucede es que la perturbación es la que los selecciona y podemos leer esto como "los estados que encontrarías si activas la perturbación pero luego la desactivas".

En la práctica, la base que utiliza para calcular V i j es genéricamente solo una base ortonormal que encontró para su subespacio degenerado y, en principio, no tiene nada que ver con los estados de orden cero.

Pero cuando calcula las correcciones de primer orden como los valores propios de V i j , los vectores propios correspondientes son los estados reales de orden cero. Estos son los únicos vectores significativos y, si la degeneración se elimina por completo, puede usar esos estados a partir de ese momento para calcular correcciones de mayor orden ahora usando la teoría de perturbaciones no degeneradas. De lo contrario, aún tendrá subespacios degenerados y tendrá que seguir usando la teoría de perturbaciones degeneradas en órdenes superiores, si realmente necesita llegar tan lejos.

Si he entendido correctamente, puedo tomar los vectores propios de V i j como los estados propios hamiltonianos no perturbados y usarlos como el "punto de partida" para encontrar estados propios perturbados, ya que ambos son bases ortornormales adecuadas?
Sí, ambas son bases ortonormales adecuadas, pero al menos los vectores propios de V i j diagonalizar con seguridad la corrección de primer orden y los consideramos los estados cero de orden real. En primer orden, tienen energías específicas, es decir, su energía de orden cero (que todos comparten) más su corrección correspondiente (valor propio de V i j ). Entonces van a simplificar su vida en correcciones de orden superior.
@secavara, es que cuando aplicamos la perturbación λ H ′ al hamiltoniano original H 0 que tiene estados propios degenerados, solo unos pocos estados propios seleccionados cambian suavemente a medida que aumentamos λ de 0 a 1, para ser el estado propio del nuevo hamiltoniano total. Estos estados propios de H 0 se llaman buenos estados?
Sí, creo que es una forma de verlo. Toda esta discusión se basa en algunas suposiciones de suavidad que, como físicos, tendemos a hacer sobre los operadores y la teoría de perturbaciones, que no forman parte de la pregunta actual, pero que puede consultar en otro lugar. Bajo ese paraguas, podemos hablar sobre activar y desactivar perturbaciones y encontrar un comportamiento continuo para valores propios y estados propios.
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