¿Mecánica cuántica en el plató de Cantor?

¿Se ha estudiado la mecánica cuántica en espacios muy singulares y/o discretos? El espacio particular que tengo en mente es el conjunto (habitual) de Cantor . ¿Cuál es la forma correcta de formular QM de una partícula en un conjunto de Cantor?

Solo puedo adivinar que:

i) No habrá operador de cantidad de movimiento.

ii) El espacio de Hilbert se generará mediante vectores de posición correspondientes a los puntos del conjunto de Cantor.

iii) Correspondiente a dos puntos cualesquiera X y y en el conjunto de Cantor habrá un operador unitario PAGS X y (análogo del operador exponencial del momento) tal que PAGS X y | X >= | y > ; PAGS X y = PAGS y X − 1 ; y PAGS y z PAGS X y = PAGS X z para todos X , y , z .

Pero no puedo ver cuál sería la noción correcta de partícula libre y cuál sería el hamiltoniano correspondiente.

Respuestas (2)

Puede definir la mecánica cuántica en un conjunto de Cantor, pero para que no sea trivial, debe ser una mecánica cuántica de Levy, no una mecánica cuántica de Gauss, ya que será el análogo cuántico de un proceso de Levy, no un browniano. movimiento, como lo es la ecuación ordinaria de Schrödinger.

Para definir la mecánica cuántica de Schrödinger, toma el límite continuo de un paseo aleatorio de amplitud vecino más cercano. Para hacer esto, primero les recordaré el mapa de tiempo imaginario estándar entre caminatas aleatorias y sistemas mecánicos cuánticos. Cuando tiene un proceso estocástico en un espacio discreto en tiempo discreto, tiene un operador de transición:

ρ j ( t + 1 ) = ∑ i ρ i ( t ) k i → j

dónde k i → j = k i j es una matriz estocástica:

∑ j k i j = 1

Estas matrices estocásticas tienen genéricamente una distribución estacionaria, a la que llamaré ρ 0 . Asumiré que esta distribución estacionaria obedece a un balance detallado , o en la jerga matemática, que es la "medida inversa" de K:

ρ i 0 k i j = ρ j 0 k j i

Esto dice que las transiciones entre los estados i y j se equilibran en equilibrio por separado de cualquier otra transición. La distribución estacionaria para la caminata aleatoria en un gráfico obedece a un balance detallado y es 1 D ( i ) donde D es el grado del vértice.

Cuando toma el límite de tiempo continuo, hace que K sea igual a la identidad más una tasa de transición infinitesimal, y la ecuación estocástica se convierte en:

d d t ρ j = ∑ i ρ i R i j

Y todavía tienes una distribución estacionaria ρ 0 para el caso de tiempo continuo. Ahora puede definir una H simétrica a partir del proceso aleatorio de tiempo continuo:

H i j = 1 ρ i 0 R i j ρ j 0

y la condición de equilibrio detallada le da la simetría de H. Luego puede definir la continuación del tiempo imaginario como una evolución de tiempo unitaria mecánica cuántica estándar, generada por este hamiltoniano. Esta es la forma más abstracta de continuación de Wick.

Si realiza este proceso en una caminata aleatoria cuyo límite es un movimiento browniano, obtiene la mecánica cuántica ordinaria de Schrödinger. Si realiza el mismo proceso en una caminata aleatoria que toma pasos de tamaño s de acuerdo con una distribución:

PAGS ( s ) ∝ 1 s 1 + α

Dónde 0 < α < 2 , obtienes la mecánica cuántica de Levy.

Entonces, para definir la mecánica cuántica en un conjunto de Cantor, todo lo que necesita es un movimiento estocástico apropiado. El movimiento browniano ordinario no tiene un límite, simplemente se queda quieto en el conjunto de Cantor --- termina completamente localizado. Pero el proceso de Levy se generaliza muy bien.

El conjunto de Cantor se puede definir como todos los números de base 3 con dígitos que son todos 0 o 2. Una aproximación discreta es truncar esto en N dígitos. Defina una caminata aleatoria en este gráfico alternando un dígito entre 0 y 2 en la posición de dígito k con una tasa que va como:

mi − a k

dónde a > 0 . Si toma el límite de tiempo continuo, pasos de tiempo de tamaño ϵ , y a = A ϵ , obtienes un salto que es una ley de potencia en tamaño (ya que es una distribución exponencial en tamaños que se reducen exponencialmente, y esta es una ley de potencia en el tamaño), y el límite continuo es la mecánica cuántica de Levy restringida al conjunto de Cantor.

Esto está relacionado con la cuestión de localizar los fermiones de Dirac, ya que el |k| la relación de dispersión es Levy. No localiza las partículas de Levy con un potencial local, a diferencia de las partículas normales de Schrödinger. Este fue el tema de esta pregunta: ¿Cómo se pueden localizar los fermiones sin masa en los materiales de Dirac? .

Hola Ron, gracias por tu respuesta. Pero no entiendo por qué QM habitual sería trivial en este caso. Estaba pensando que, dado que cada punto del conjunto de Cantor se puede representar como una secuencia infinita de (digamos) -1 y 1; entonces los estados de posición son de la forma | i 1 , i 2 , . . . > donde cada uno i k es -1 o 1. Ahora estos estados se pueden mapear a estados de una cadena semi-infinita de espines cuánticos. Entonces, creo que el problema de QM de una partícula en el conjunto de Cantor puede verse de manera equivalente como QM de una cadena infinita de espines cuánticos. Es eso correcto ?
@dushya: sí, pero la dinámica cuántica normal de Schrödinger no permite que los giros cambien, ya que las distancias no son uniformemente pequeñas --- voltear cada giro sucesivo es un factor de 3 saltos de distancia más grandes. Entonces, si desea una dinámica no trivial, necesita saltos de ley de potencia, de ahí los vuelos de Levy.

Es difícil idear un sistema clásico en el conjunto de Cantor (como espacio objetivo). Por ejemplo, el conjunto está totalmente desconectado, por lo que cualquier mapa continuo desde un espacio conectado hacia él es constante. Por lo tanto, no puede haber objetos que se propaguen (incluso solo partículas).

Correcto, pero no hay ningún problema en hacer mecánica cuántica en espacios de Hilbert discretos y finitos, por lo que la falta de capacidad para considerar una partícula clásica no tiene por qué ser necesariamente un problema.
Sin embargo, ese no es el problema que dushya está considerando.
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