Me he confundido con esta "prueba" de lógica formal [cerrado]

Que "r" signifique "está lloviendo" y "s" signifique "está nevando".
"->" es "implica"; "V" es "o" (inclusive); "~" es "no"; "^" es "y"

Aquí está la "prueba":
(1) (r->s)V(s->r) es verdadero porque es una tautología (las tablas de verdad dicen que siempre es cierto)
Ahora digamos que hoy está lloviendo y no nevando:
(2 ) r^~s
(3) ~(r->s) de (2) por tabla de verdad
(4) s->r de (1) y (3)

Pero no es cierto que "si está nevando, está lloviendo", como dice (4); hay días en invierno en los que nieva pero no llueve. Entonces, ¿dónde me he equivocado?

Respuestas (8)

Has observado que hay días en los que nieva, pero no llueve, donde ~r&s, en contradicción directa (¡dos veces!) con el axioma (2) . Solo podemos concluir que esos días no están modelados por ese axioma, o cualquier sistema de axiomas que lo incluya.

En los días que se ajustan a (2) , no está nevando, por lo que s→r se mantiene vacío. (Ver hacia el final de una publicación relacionada sobre proposiciones condicionales en lógica oracional ).

Estamos "trabajando" con la lógica clásica , cuando asumimos que r ∧ ~s es equivalente a : ~(r → s) [y entonces : (r → s) es equivalente a : ~(r ∧ ~s) ].

También la tautología : (r → s) ∨ (s → r) (llamada: ley de Dummett ) es válida solo en lógica clásica.

Ahora, si aplicamos la equivalencia anterior a la premisa (1), podemos reescribirla como:

~(r ∧ ~s) ∨ ~(s ∧ ~r) .

Habiendo asumido : (r ∧ ~s) como premisa (2), por el silogismo Disyuntivo estamos "forzados" a concluir con :

~(s ∧ ~r)

que es exactamente:

(s → r) .

Comentario

Asumiendo el "contexto" de la lógica clásica , no hay pasos en su argumento "donde se haya equivocado".

Asumiendo la tautología (1), has asumido la disyunción entre las dos alternativas:

"no (lluvia sin nieve)", "no (nieve sin lluvia)".

Esto es una tautología, es decir, una verdad lógica ; por lo tanto, debe ser cierto en cada "situación".

Entonces tenemos la premisa (2):

"hoy llueve pero no nieva"

eso no es una verdad lógica; es una proposición "contingente", que describe una situación real: hoy tenemos lluvia sin nieve.

Por pasos lógicos hemos concluido con (4):

"si está nevando, entonces está lloviendo".

Pero debemos abstenernos de cometer una falacia: (4) es una consecuencia lógica de (1) y (2). Esto significa que debe ser cierto siempre que (1) y (2) lo sean.

Pero (2) no es una verdad lógica, es decir, no es verdadera en todas las situaciones posibles; así también la conclusión del argumento (válido) no es una ley lógica, es decir, no es verdadera en todas las situaciones posibles.

Podemos concluir que (4) es verdadero en la situación "descrita" por (2) [(1) es influyente, debido al hecho de que es verdadero "en todas partes]; no que en todas las situaciones posibles sea verdadero: usted ha notado que "hay días en invierno que nieva pero no llueve".

Esta es la "solución" del rompecabezas.

Al suponer (2) nos comprometemos con la falsedad de s , porque la única forma de satisfacer (r ∧ ~s) es cuando tanto r como ~s son verdaderas , es decir, cuando r es verdadera y s es falsa .

Habiendo asumido la lógica clásica , el hecho de que s sea falso nos autoriza - por las condiciones de verdad del condicional - a afirmar que (s → r) es verdadero .

[ (r → s) ∨ (s → r)] es un caso especial de la tautología más general [(r → s) ∨ (q → r)] . Demostración: Supongamos que [(r → s) ∨ (q → r)] no es una tautología. Entonces tanto (r → s) como (q → r) son falsos en alguna interpretación. En esa interpretación, r es verdadero en (r→s) y falso en (q → r). Pero eso es una contradicción, y por lo tanto [(r → s) ∨ (q → r)] es una tautología.
Esto sucede en muchas otras lógicas además de la lógica clásica. La Ley de Dummett no tiene nada que ver con esto. Tenga en cuenta que la lógica de Wajsberg-Lukasiewicz, la lógica de valores infinitos de Lukasiewicz y la lógica intuicionista tienen CNaCab como una tautología. Por lo tanto, si KrNs es cierto, obtenemos Ns por eliminación por conjunción derecha. Luego, sustituyendo "a" por "s" y "b" por "r" en CNaCab obtenemos CNsCsr. Como también tenemos Ns, separamos Csr.

Ha introducido incorrectamente el elemento del tiempo en su argumento y está confundiendo declaraciones del tipo está nevando ahora con declaraciones del tipo cada vez que nieva .

Su declaración "R" realmente debería ser está lloviendo ahora y "S" es está nevando ahora .

O está lloviendo ahora -> está nevando ahora o está nevando ahora -> está lloviendo ahora . ¿Por qué? Porque todas las cosas implican una declaración verdadera y una declaración falsa implica todas las cosas. Si está lloviendo ahora es cierto, entonces cualquier otra declaración lo implicará. Si es falso, entonces implica cualquier otra declaración (incluso está nevando ahora ).

Sin embargo, en ninguno de los dos casos hemos establecido una conexión esencial entre llover y nevar. R -> S NO significa que cada vez que llueve, nieva .

(R -> S) significa que "si está lloviendo, entonces está nevando". Ahora supongamos que tenemos un tiempo arbitrario donde está lloviendo. Si el desapego se cumple como regla de inferencia, entonces en los mismos momentos arbitrarios se sigue que está lloviendo. Como ambos tiempos fueron arbitrarios, se sigue que cada vez que llueve, nieva. Parece que el desapego falla como regla de inferencia para el razonamiento temporal.

En pocas palabras, le has dicho al sistema lógico que no está nevando. Tu declaración (4) es solo el principio de la explosión en acción: si está nevando (y, como ya le dijiste al sistema, tampoco está nevando), entonces el negro es blanco, soy papa y, sí, también está nevando. lloviendo.

Si 'A es falso' se toma como premisa, entonces 'A-> lo que sea que quieras' es un teorema, porque el condicional nunca se cumple.

Editar: Aquí hay una prueba

(1) ~A

(2) ~A v Lo que sea que te guste (Por introducción de disyunción)

(3) A-> Lo que te de la gana (Por implicación material)

Aquí no hay ninguna explosión. Primero, que r es verdadero ya está en la premisa (2) del argumento. En segundo lugar, supongamos que (4) fuera, en cambio, "s -> Tom es el papa". No podría concluir que Tom es el papa, porque el argumento no implica s.
@Schiphol No hay explosión en la prueba lógica, pero el OP pregunta: "¿Por qué", parafraseando, "cuando está nevando, la conclusión de mi argumento plantea un absurdo?" esto es explosión en acción. Técnicamente, por supuesto, la conclusión del argumento no es explosiva, y simplemente, como dice su respuesta, un condicional vacuo: pero la razón por la que es absurda es manifiestamente POEish.
No, creo que su punto es esencialmente correcto, por supuesto. Simplemente lo estaba invitando a que tal vez explique con un poco más de detalle qué es ex falso quodlibet y cómo se relaciona el argumento del OP :)

Hay un argumento más simple que lleva a la misma dificultad.

Supongamos que no está nevando hoy "~s". Entonces dado "si no s, entonces si s, entonces r" [~s->(s->r)] como un axioma o teorema (tesis), y desprendimiento o "modus ponens", entonces se sigue que "si está nevando hoy, entonces está lloviendo hoy". Eso lleva a lo mismo difícil, ¿verdad? Bien, el enunciado inferido aquí ocurre bajo el alcance de la suposición ~s. Más formalmente:

axiom             1 [~s->(s->r)]
assumption        2 | ~s
detachment (2, 1) 3 | (s->r)

O podrías llegar de esta manera:

axiom             1 [r->(s->r)]
assumption        2 | r
detachment (2, 1) 3 | (s->r)

Pero tenga en cuenta que las conclusiones aquí solo se mantienen bajo el alcance de alguna suposición. No se sostienen fuera del alcance de alguna suposición. Cuando escribiste "Pero no es cierto que "si está nevando (hoy), está lloviendo (hoy)", estabas hablando fuera del alcance de las suposiciones sobre si está nevando (hoy) o lloviendo (hoy). Te equivocaste al olvidarte del alcance de las inferencias realizadas.

Recuerde que, contrariamente al (mal) uso popular, la implicación no tiene nada que ver con la causa y el efecto.

Lloviendo => Nublado

"Está lloviendo implica que está nublado" no significa que la lluvia provoque nubosidad o que la nubosidad (por sí misma) provoque lluvia.

Simplemente significa que nunca es el caso de que llueva y no esté nublado. Se permiten todas las demás posibilidades: llueve y está nublado, no llueve y no está nublado, o no llueve y está nublado.

Alternativamente, podemos decir que la lluvia es una condición suficiente para la nubosidad, o que la nubosidad es una condición necesaria para la lluvia.

Definimos A => B para significar simplemente ~[A y ~B], o de manera equivalente, ~A o B.

Por lo tanto, podemos reescribir [R => S] o [S => R] de forma más intuitiva como [R y ~S] => [~S o R].

Una sola implicación de esta forma suele ser más fácil de leer.

La "paradoja" puede surgir sin ninguna de las definiciones aquí.
Pero su punto sobre "si ... entonces" como que no involucra causalidad es correcto, y probablemente indica cómo surge la confusión.

Creo que su argumento es perfectamente correcto como lógica formal (clásica).

Quiere probar una disyunción AV B.

Lo haces asumiendo que no (A) y concluyendo B.

Su confusión surge porque está asignando significado a las declaraciones A (= r-> s) y B (= s -> r).

Desde un punto de vista lógico, no importa si la lluvia implica nieve o la nieve implica lluvia. De hecho, ambas declaraciones son obviamente falsas en su uso común.

El condicional con el que estás tratando aquí es el condicional material. Su tabla de verdad es la siguiente

s    r     s->r
T    T     T
T    F     F
F    T     T
F    F     T

Entonces, efectivamente, (4) es verdadero: es un condicional material con un antecedente falso; nada en el hecho de que s no sea el caso puede hacer falso que si s entonces r. El desconcierto sobre esta línea de la tabla de verdad del condicional material es recurrente en Filosofía SE. Mira a tu alrededor y encontrarás otras preguntas relacionadas.

Este argumento se puede hacer sin el condicional material. Ver mi comentario a la respuesta de Mauro.
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