Prueba de lenguaje y lógica Capítulo 15 pregunta 16 ayuda

Esta es la premisa: ∀x∀y(x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)

Este es el objetivo: ∀x∀y∀z((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)

Su premisa es una definición para la relación de subconjunto. Su objetivo es la propiedad de la transitividad. Debe reconocerlos, aunque saber esto no es necesario para este problema.

De todos modos. Tu primer paso obvio es configurar Introducciones Universales... y hagamos una Introducción Condicional mientras estamos en eso. (Nota: algunos verificadores de prueba le permiten combinar estos pasos)

|_ ∀x ∀y (x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)
|  |_ [a]
|  |  |_ [b]
|  |  |  |_ [c]
|  |  |  |  :                                    :
|  |  |  |  |_ a ⊆ b ∧ b ⊆ c
|  |  |  |  |   :                                :
|  |  |  |  |  a ⊆ c                             ...
|  |  |  |  (a ⊆ b ∧ b ⊆ c) ⟶ a ⊆ c             ⟶I
|  |  |  ∀z ((a ⊆ b ∧ b ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
|  |  ∀y ∀z ((a ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
|  ∀x ∀y ∀z ((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)           ∀I

Para obtener equivalencias para esas tres declaraciones de subconjunto, use Eliminación universal en la premisa varias veces.

Ahora, esas serán tres declaraciones cuantificadas universales, así que suponga otro término arbitrario para eliminar e introducir los cuantificadores universales según sea necesario.

Entonces todo se encuentra en el medio con una sub-prueba para el dilema constructivo.

 |_ ∀x ∀y (x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y))
 |  |_ [a]
 |  |  |_ [b]
 |  |  |  |_ [c]
 |  |  |  |  ∀y (a ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ y))      ∀E 
 |  |  |  |  ∀y (b ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ y))      ∀E
 |  |  |  |  a ⊆ b ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ b)           ∀E 
 |  |  |  |  a ⊆ c ↔️ ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ c)           ∀E
 |  |  |  |  b ⊆ c ↔️ ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ c)           ∀E
 |  |  |  |  |_ a ⊆ b ∧ b ⊆ c
 |  |  |  |  |  a ⊆ b                              ∧E
 |  |  |  |  |  b ⊆ c                              ∧E
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ b)                 ↔️E                
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ b ⟶ z ∈ c)                 ↔️E
 |  |  |  |  |  |_ [d]
 |  |  |  |  |  |  d ∈ a ⟶ d ∈ b                  ∀E
 |  |  |  |  |  |  d ∈ b ⟶ d ∈ c                  ∀E
 |  |  |  |  |  |  |_ d ∈ a 
 |  |  |  |  |  |  |  d ∈ b                        ⟶E 
 |  |  |  |  |  |  |  d ∈ c                        ⟶E
 |  |  |  |  |  |  d ∈ a ⟶ d ∈ c                  ⟶I             
 |  |  |  |  |  ∀z(z ∈ a ⟶ z ∈ c)                 ∀I
 |  |  |  |  |  a ⊆ c                              ↔️E                             
 |  |  |  |  (a ⊆ b ∧ b ⊆ c) ⟶ a ⊆ c             ⟶I
 |  |  |  ∀z ((a ⊆ b ∧ b ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
 |  |  ∀y ∀z ((a ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ a ⊆ z)           ∀I
 |  ∀x ∀y ∀z ((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)           ∀I

Esta es la premisa: ∀x∀y(x ⊆ y ↔️ ∀z(z ∈ x ⟶ z ∈ y)

Este es el objetivo: ∀x∀y∀z((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) ⟶ x ⊆ z)

En lenguaje natural, la premisa dice que si un conjunto x es un subconjunto de un conjunto y entonces para todos los elementos z del conjunto x esos elementos z también son elementos del conjunto y. El objetivo es mostrar que esto implica que si un conjunto x es un subconjunto de un conjunto y y ese conjunto y es un subconjunto de un conjunto z, entonces el conjunto x es un subconjunto del conjunto z.

Voy a esbozar cómo podría proceder.

La premisa define lo que significa que un conjunto sea un subconjunto de otro en términos de elementos de esos conjuntos. Dado que el objetivo tiene tres relaciones de subconjunto, use la eliminación universal tres veces para derivar las siguientes tres líneas de la premisa:

• un ⊆ segundo ↔️ s ∈ un ⟶ s ∈ segundo
• segundo ⊆ do ↔️ s ∈ segundo ⟶ s ∈ do
• un ⊆ c ↔️ s ∈ un ⟶ s ∈ c

En lo anterior, a, b y c son nombres de conjuntos y s es el nombre de un elemento de un conjunto.

Haz una suposición: a ⊆ b ∧ b ⊆ c

Este es el antecedente de la meta. Necesitamos derivar el consecuente: a ⊆ c

Use la eliminación de conjunciones para dividir la suposición en dos líneas:

• un ⊆ segundo
• segundo ⊆ c

Use eliminación condicional o modus ponens para derivar estas dos líneas:

• s ∈ un ⟶ s ∈ segundo
• s ∈ segundo ⟶ s ∈ do

Haga una suposición: s ∈ a

De ahí se deriva s ∈ b y de ahí se deriva s ∈ c.

Deshágase de esa última suposición introduciendo el siguiente condicional:

• s ∈ un ⟶ s ∈ do

Usa eso para derivar un ⊆ c. Ahora puede cumplir con la primera suposición hecha introduciendo el siguiente condicional:

• (un ⊆ segundo ∧ segundo ⊆ c) ⟶ un ⊆ c

Utilice la introducción universal en los tres nombres. El nombre a se convierte en la variable x, b se convierte en la variable y y c se convierte en la variable z.

Eso debería completar la prueba.