Maximice la autoinducción magnética a través de un cable

Creo que tiene un error en su fórmula ya que la autoinducción de una bobina está dada por

$$L\approx\mu_0 \frac{n^2 A}{\ell};$$ aquí $n$es el número de vueltas, $A$es el área de la sección transversal, y $\ell$es la longitud de la bobina.

Su tarea es maximizar$L$con la restricción de que la longitud del alambre de cobre es$W$. Suponiendo que el solenoide es un cilindro, la sección transversal dice$A=\pi R^2$con$R$el radio del cilindro.

Un solenoide con$n$devanados necesita un cable de longitud$W= 2\pi Rn$. De este modo,

$$L \approx \mu_0 \frac{W^2}{\ell}.$$ Vemos que la inductancia del solenoide disminuye al aumentar la longitud (manteniendo fija la longitud total del cable). Por lo tanto, obtenemos la autoinductancia más grande que tiene la longitud más pequeña, que es un solo bucle con $n=1$. Para un solo bucle, la fórmula anterior no es correcta (ya que supone $\ell \gg \sqrt{A}$) y por lo tanto tenemos $$L\approx \mu_0 R \ln (R/r) \approx \mu_0 \frac{W}{2\pi} \ln(W/r)$$ con $r$el radio del alambre.

Bien, en realidad encontré la solución ...

$$W=(2\pi r) \cdot N = (2 \pi r)(nl)$$

entonces

$$r=W/2 \pi n l$$

también,$A = \pi r^2$entonces esto lleva a

$$L = \mu_o n^2 l \pi r^2$$ $$= \mu_o n^2 l \pi (W/2 \pi n l)^2$$ $$=\mu_o (W/4 \pi l)$$

así que para maximizar$L$, quieres$l$ser lo más pequeño posible, es decir. 1.

Noté que la notación n representa diferentes cantidades en la ecuación de PO y en la de Fabian. Por eso la ecuación es diferente.

Supongo que deberías comprobar: es$n$el número de vueltas, o el número de vueltas por unidad de longitud?