Masa de AdS55_5 vacío

Anuncios vacíos de cinco dimensiones$_5$el espacio tiene masa

$$E = \frac{3 \pi \ell^2}{32 G}.$$

¿Es correcta la ecuación anterior?

Hagamos un análisis dimensional para confirmar. En unidades naturales, en 5 dimensiones$[G] = -3$dónde$[...]$es la dimensión de masa. También$[\ell]=-1$. Por lo tanto$\left[ \frac{\ell^2}{G} \right] = 1$. Así que las dimensiones parecen funcionar bien.

Aquí está mi segunda pregunta:

el limite de$\ell \to \infty$de$AdS_5$el espacio es espacio plano. ¿No es raro que la masa diverja en este límite? ¿Hubiera supuesto que la masa debería desaparecer en este límite, ya que el espacio plano tiene una masa que se desvanece? ¿Estamos usando dos definiciones diferentes de masa?

EDITAR: debido a algunas solicitudes en los comentarios, incluiré la derivación de la fórmula anterior.

Utilizo el tensor de tensión de frontera dado por Brown-York (derivado de la acción de Einstein junto con el término de frontera de Gibbons-Hawking.

$$t_{ij} = \frac{1}{8\pi G} \left[ K_{ij} - \gamma_{ij} K + \frac{2}{\sqrt{-\gamma}} \frac{\delta S_{ct}}{\delta \gamma^{ij}} \right]$$ Aquí $K_{ij} = \nabla_{(i} n_{j)}$es la curvatura extrínseca. $n^\mu$es el vector unitario normal a la frontera. $\gamma$es la métrica límite y $K = \gamma^{ij} K_{ij}$. $S_{ct}$es la acción contratérmino incluida para hacer finitas todas las cargas BY, que se definen como $$Q_\xi = \int_{\cal B} d^d x \sqrt{\sigma} u^i \xi^j t_{ij}$$ Aquí $\sigma_{ab}$es la métrica en una hipersuperficie espacial y $u^i$es un vector unitario similar al tiempo normal a la hipersuperficie. $\xi^j$es un vector Killing de la métrica límite.

Ahora para$AdS_5$, la acción contratérmino viene dada por

$$S_{ct} = -\frac{3}{\ell} \int d^4 x \sqrt{-\gamma} \left( 1 + \frac{\ell^2}{12} R(\gamma) \right)$$ El tensor BY es entonces $$t_{ij} = \frac{1}{8\pi G} \left[ K_{ij} - \gamma_{ij} K - \frac{3}{\ell} \gamma_{ij} + \frac{\ell}{2} \left( R_{ij} - \frac{1}{2} \gamma_{ij} R \right) \right]$$ Ahora podemos trabajar en las coordenadas de Fefferman-Graham para $AdS_5$espacio donde está la métrica $$ds^2 = \frac{\ell^2 d\rho^2}{4\rho^2} - \frac{(1+\rho)^2}{4\rho} dt^2 + \frac{\ell^2 ( 1 - \rho)^2}{4\rho} d\Omega_3^2$$ De este modo $$t_{ij} = - \frac{ \rho }{4\ell \pi G} \left( \gamma_{ij}^{(0)} + \gamma_{ij}^{(2)} \right) + {\cal O}(\rho^2)$$ dónde $$\gamma_{ij}^{(0)} dx^i dx^j = -\frac{1}{4} dt^2 + \frac{\ell^2}{4} d \Omega_3^2$$ $$\gamma_{ij}^{(2)} dx^i dx^j = - \frac{1}{2} dt^2 - \frac{\ell^2}{2} d \Omega_3^2 \\ $$ También tenemos $$u = \frac{2 \sqrt{\rho}}{1+\rho} \partial_t,~~ \xi = \partial_t,~~\sqrt{\sigma} = \frac{\ell^3 (1 - \rho)^3 }{8 \rho^{3/2} } \sin^2\theta \sin \phi$$ Conectando todo esto, encontramos que la carga BY correspondiente al vector Killing $\partial_t$es $$Q_t = \frac{3 \pi \ell^2 }{32 G}$$ Aquí es donde saqué la fórmula. Interpreto esto como la masa de $AdS_5$espacio.

Descargo de responsabilidad: he omitido intencionalmente varios cálculos para reducir la duración del problema. No he referido ningún artículo y todos los cálculos los he hecho yo.