Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas son la base de las teorías de partículas y campos, producen las mismas ecuaciones de movimiento y están relacionadas a través de una transformada de Legendre. ¿Hay más objetos matemáticos de este tipo que sean equivalentes, o estos dos son de alguna manera únicos? Si es así, ¿por qué hay dos sistemas equivalentes, en lugar de uno solo (o más)?
También existe el formalismo Routhiano de la mecánica que se describe como un híbrido de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. El Routhiano se define como
Leyendo más sobre el Routhian porque estaba aburrido, me di cuenta de que se define como la transformada parcial de Legendre del Lagrangiano y también en el lenguaje de la geometría diferencial se define de manera similar al Lagrangiano como
Cabe señalar que los formalismos hamiltoniano y lagrangiano son independientes, aunque normalmente se enseñan como si el primero fuera una filtración del segundo (aquí entran las transformadas de Legendre). Ambos formalismos son tan independientes como las nociones de fibras tangentes y cotangentes en geometría diferencial: independientes, pero intrínsecamente conectados.
Además, existe un tercer formalismo: el de Hamilton-Jacobi. Es tan bueno como los otros dos y conlleva una interpretación completamente diferente de las ecuaciones de movimiento. Todos esos formalismos están profundamente conectados y cada uno tiene sus ventajas e interpretación geométrica.
Como último comentario: se te ocurren muchas otras interpretaciones de la Mecánica. Hay tantos como quieras. Un ejemplo de uno nuevo, pero útil, es la interpretación del acorde central , relacionada con la interpretación de Weyl-Wigner de la mecánica cuántica. Mientras tus transformaciones sean canónicas, el cielo es el límite con respecto a la creación de nuevos puntos de vista en Mecánica.
Todas las diversas "energías libres" de la termodinámica son solo una (o algunas veces) transformación de Legendre lejos de la vieja energía simple.
Para obtener la energía libre de Helmholtz a partir de la energía, realiza una transformación de Legendre entre la entropía y la temperatura.
Para obtener la entalpía de la energía, realiza una transformación de Legendre entre volumen y presión.
Para obtener la energía libre de Gibbs a partir de la energía, realiza dos transformaciones de Legendre, una entre entropía y temperatura y la otra entre volumen y presión.
Y así sucesivamente (hay otros, pero son menos comunes en la aplicación). En particular, puede cambiar una descripción en términos de números de partículas por una en términos de potenciales químicos cuando sea necesario.
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