Marcos de referencia giratorios

$\def\m{\mathbf}$Vector de coordenadas de un punto en marco estático:$r^s$

Vector de coordenadas del mismo punto en marco giratorio:$r^r$

(Rotación pura, ambos fotogramas tienen el mismo origen).

Transformación de coordenadas (matriz de rotación):$R$

La matriz es ortogonal, es decir,$R^TR=RR^T=\m1$(la matriz unitaria)

Propiedad importante:$\m0=\frac{d}{dt} \m1 = \frac{d}{dt} (R^TR) = \dot R^T R + R^T \dot R$

Eso significa que la matriz$\m\Omega := R^T\dot R$es antisimétrico$\m\Omega = -\m\Omega^T$(con solo tres componentes relevantes$\Omega_1 := \m\Omega_{32}, \Omega_2 := \m\Omega_{13}, \Omega_3:=\m\Omega_{21}$) y los productos$\m\Omega v$se puede expresar con el vector$\Omega=(\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)$como$\Omega\times v$.

Vector de coordenadas en marco giratorio:

$$r^s = R\cdot r^r$$

Velocidad, derivada del tiempo en el marco estático:

$$v_s^s := \frac{d r^s}{dt} = \dot R\;r^r + R\;\dot r^r$$

Aplicar$R^T$a esta ecuación:

$$R^T v_s^s = R^T\dot R\;r^r + \dot r^r$$

Ves que transformas la velocidad$v_s^s$en el marco giratorio (el mismo donde también$r^r$vidas). El nombre correcto en nuestra nomenclatura para la derivada temporal calculada en el marco estático y transformada en rotatoria sería$v_s^r = R^T v_s^s$.

Con esto obtienes tu formula

$$v_s^r = \Omega \times r^r + \dot r^r.$$

Primero déjame mostrarte las matemáticas: tu posición en el marco giratorio será$\vec x_\text r$donde en el marco estático sea$\vec x_\text s$. Ahora la velocidad es:

$$\vec v_\text s = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec x_\text s.$$

Esto debería estar bien. Ahora, para ir al marco giratorio, tendremos que expandir un poco la notación. Tenemos que echar un vistazo a los vectores unitarios y descomponer el vector de posición en componentes:

$$\vec x_\text s = \sum_{i=1}^3 {x_\text s}_i \vec e_i,$$ dónde $\vec e_i$son los vectores unitarios del marco de referencia. En el marco estático, son: $$\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

No dependen del tiempo, por lo que no es necesario tenerlo en cuenta al realizar una derivada temporal.

El marco giratorio tendrá vectores unitarios que dependen del tiempo, tendrá la siguiente regla del producto:

$$\vec v_\text r = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \sum_{i=1}^3 {x_\text r}_i \vec e_i = \sum_{i=1}^3 \left( {\dot x_\text r}_i \vec e_i + {x_\text r}_i \dot{\vec e}_i \right)$$

El último término es donde su$\Omega \times$entra en juego. Consulte Derivación de la fuerza centrífuga y de coriolis para conocer el resto de la derivación.

Si desea una forma alternativa de ver este problema, puede cambiar a la notación de números complejos (ya que este es un problema plano).

Si en el sistema no giratorio la posición del cohete es$z=\gamma (t)$, entonces en un sistema que gira con velocidad angular constante$-\omega$, tienes$z=e^{i\omega t}\gamma(t)$. Si$\gamma (t)=vt$, entonces

$$z=e^{i\omega t}vt=k\theta \,e^{i\theta},\qquad \text{with }k=\frac{v}{\omega},$$ eso es, como dijiste, una espiral.