¿Los observadores que se mueven sobre una esfera experimentarán la dilatación del tiempo?

Existe una sola fuente de luz en un punto fijo en el espacio en relación con dos observadores. Los dos observadores se mueven sobre la superficie de un caparazón con un radio fijo con la fuente de luz en su centro. Se mueven a lo largo de una trayectoria circular en la esfera. Se mueven a diferentes velocidades u y v. ¿Experimentarán dilatación del tiempo entre sí?

Si la relatividad dice que habrá dilatación del tiempo en el caparazón de una esfera con un radio fijo con una fuente de luz en su centro, entonces hay un problema. Digamos que la luz parpadea una vez cada 10 segundos. Entonces esa luz llegará a todos los observadores en el caparazón al mismo tiempo sin importar la velocidad relativa entre ellos. Todos los observadores estarían de acuerdo en que la luz parpadea una vez cada 10 segundos, sin importar cuál sea su velocidad, mientras estén en el caparazón.

¿Qué tiene que ver esto con la relatividad general? ¿Por qué es importante la fuente de luz? Siempre que haya un movimiento relativo entre los observadores, habrá una dilatación del tiempo.
Hola Physics Man: este es un sitio para preguntas conceptuales sobre física, no ayuda general con la tarea (o para que las personas respondan preguntas similares a la tarea). Si puede editar su pregunta para preguntar sobre el concepto de física específico que le está dando problemas, estaré encantado de reabrirla. Consulte nuestra política de tareas y preguntas frecuentes para obtener más información.
En realidad es una cuestión conceptual. Porque si la relatividad dice que habrá dilatación del tiempo en el caparazón de una esfera con un radio fijo con una fuente de luz en su centro, entonces hay un problema. Digamos que la luz parpadea una vez cada 10 segundos. Entonces esa luz alcanzará a todos los observadores en el shaell al mismo tiempo sin importar la velocidad relativa entre ellos. Por eso hice esta pregunta. No es una pregunta de tarea. Todos los observadores estarían de acuerdo en que la luz parpadea una vez cada 10 segundos, sin importar cuál sea su velocidad, mientras estén en el caparazón.
Creo que esto debería ser reabierto. Me parece una pregunta bastante sutil y no estoy seguro de saber la respuesta.
@PhysicsMan: suponiendo que podamos ignorar la curvatura debido a las pequeñas masas presentes, creo que la dilatación del tiempo en los cohetes en círculos se debe solo a su velocidad. Entonces, la dilatación del tiempo en los dos cohetes será diferente. Sin embargo, los destellos no alcanzarán los cohetes al mismo tiempo en el marco de los cohetes. Debo admitir que no estoy seguro a partir de una mirada rápida al problema exactamente de lo que informarían los distintos observadores.
Parece que esta pregunta se convierte en la habitual paradoja de los gemelos bajo los supuestos de que v = 0 y eso tu corre en un círculo máximo que incluye al observador que se sienta quieto en relación con el reloj (la baliza). Un segundo punto de análisis es que si | tu | = | v | , entonces cada observador experimenta la misma dilatación relativa a la baliza, pero pueden ponerse de acuerdo cuando se encuentran sobre cuántos parpadeos han ocurrido desde su último encuentro. Además, sospecho, pero aún no puedo probarlo, que la versión arbitraria se puede descomponer en estos dos casos.
Sugerencia para la formulación de la pregunta (v2): dos sondeos A y B moverse con diferentes velocidades constantes v A ≠ v B a lo largo del mismo círculo ecuatorial r = r 1 > R s , θ = π / 2 , en una geometría de Schwarzschild. ¿Cómo se expresa el tiempo adecuado? Δ τ A en cuanto al momento adecuado Δ τ B entre dos reuniones sucesivas en función de v A y v B ?
@JohnRennie: Sí, esto probablemente debería reabrirse. (Aunque esperaré el comentario de David)
@Qmechanic: en lugar de una métrica de Schwarzschild, asumiría un espacio plano, ya que creo que es más interesante. Los cohetes proporcionarían por sí mismos la aceleración necesaria para moverse en círculo. Esto presumiblemente está relacionado con el disco giratorio relativista.
@JohnRennie seguro, es una pregunta interesante, pero como se escribió originalmente, no mostró ningún esfuerzo por parte del OP para resolverlo o incluso pensar en ello. Y era lo suficientemente específico como para ser una pregunta de tarea. Dada su forma original, mantengo mi decisión de cerrarlo como se escribió originalmente, pero edité el comentario de Physics Man, lo que hace que esté bien reabrir IMO. Dejaré que Physics Man decida si reformularlo como sugirió Qmechanic.
Soy un merodeador muy ingenuo en este sitio, pero me pregunto cómo o si el problema declarado por el OP difiere del problema del tiempo GPS que mantiene la dilatación del tiempo WRT.

Respuestas (2)

Esta es solo una respuesta cualitativa porque un tratamiento adecuado me llevará a rascarme mucho la cabeza si pudiera manejarlo. De todos modos, esto es lo que creo que sucede.

La pregunta es una variante de la paradoja de los gemelos. En algún momento las posiciones de dos naves espaciales, tu y v , coincidirá y en ese momento pondrán sus relojes a leer lo mismo. Si sus velocidades (medidas en el marco de la fuente de luz) tienen alguna relación racional, en algún momento futuro sus posiciones volverán a coincidir y podrán comparar relojes (que serán diferentes). Durante este tiempo todos los observadores deben ponerse de acuerdo sobre el número de pulsos de luz recibidos.

En ausencia de una cantidad significativa de masa, la dilatación del tiempo en los barcos, medida por la fuente de luz, es simplemente el factor habitual de γ eso depende de su velocidad, por lo que la fuente de luz ve los relojes de las dos naves retrasados ​​en diferentes cantidades. Sin embargo, por simetría, los observadores en los barcos ven el reloj de la fuente de luz retrasado por los (dos diferentes) factores de γ por lo tanto, el barco más rápido verá una frecuencia de pulso de luz más baja que el barco más lento.

El problema es que la nave más rápida ve la frecuencia de pulso de luz más lenta y registra menos tiempo transcurrido entre los dos encuentros. Así que debe haber contado menos pulsos que la nave más lenta. ¿Cómo puede conciliarse esto con el requisito de que todos los observadores cuenten el mismo número de pulsos?

La solución es que las naves espaciales no estén en marcos inerciales. Si tiene dos marcos inerciales, S y S ′ , moviéndose a una velocidad relativa distinta de cero, entonces es cierto que ambos marcos ven los relojes en el otro marco ralentizados por el mismo factor de γ . Sin embargo, si está acelerando, está cambiando constantemente los marcos de inercia y el argumento de simetría no se aplica. Puedes ver esto en el ejemplo simple del cohete relativista . La dilatación del tiempo entre el cohete en aceleración y el observador estático no es simétrica (que es la solución a la paradoja de los gemelos).

No sé cómo calcular la dilatación del tiempo para un objeto en movimiento circular, así que no puedo dar una respuesta cuantitativa. Sin embargo, cualitativamente, las naves espaciales que giran alrededor de la fuente de luz ven el reloj de la fuente de luz correr rápido, no lento, y cuanto más rápido viajen las naves, más rápido verán correr el reloj de la fuente de luz.

Entonces, en el ejemplo con el que comencé, entre sus dos encuentros, el barco que se mueve más rápido v registrará menos tiempo transcurrido que el barco que se mueve más lento tu , pero habrá medido una frecuencia de pulso de luz más alta que tu hace, y tu a su vez mide una frecuencia de pulso más alta que el observador estático. El resultado final es que tanto las naves como el observador estático cuentan la misma cantidad de pulsos de luz durante el período entre las reuniones de las naves.

Respuesta al comentario:

Le preocupa que debido a que las naves espaciales en círculos tienen velocidad cero en la dirección de la fuente de luz, no puede haber ninguna dilatación del tiempo. Esto no es cierto, y puede verlo de manera muy simple a partir de lo siguiente:

Dilatación

Este diagrama muestra dos marcos inerciales S y S ′ con una velocidad relativa v . la fuente de luz L es en S y los dos puntos A y B están en S ′ . Ignorar punto B por ahora, entonces A está viajando hacia L a velocidad v y la dilatación del tiempo es la habitual γ .

Pero A y B son estacionarios entre sí, por lo tanto, sus relojes marcan la misma velocidad. Así que la dilatación del tiempo para B es lo mismo que para A . Ahora considere el momento en que A y L coincidir. En este punto la componente de B la velocidad en la dirección de L es cero Sin embargo sabemos que A y B Los relojes están sincronizados y sabemos que A es el tiempo dilatado por γ visto desde L , por lo que la conclusión es que B El reloj de también debe estar dilatado en el tiempo por γ visto desde L .

En este momento, mi ejemplo de los dos marcos se parece a su ejemplo de movimiento circular, donde la distancia entre A y B , r , es el radio del movimiento circular y B es la posición de la nave espacial. Es por eso que la fuente de luz ve el tiempo de las naves en círculos dilatado por un factor de γ .

Su configuración es realmente una variante del disco giratorio relativista. Inusualmente, Wikipedia no tiene un buen artículo sobre esto, aunque hay algo de discusión al respecto en los artículos sobre la paradoja de Ehrenfest y la dilatación del tiempo gravitacional . Sin embargo, si busca en Google un disco giratorio relativista , encontrará muchos sitios web que lo discuten.

Entonces mi pregunta es esta: en cualquier círculo en la superficie de la esfera, no hay contracción de longitud en la dirección de la fuente de luz (al menos eso creo). Por lo tanto, los observadores de las naves espaciales deberían medir la distancia "real" a la fuente de luz. Ahora bien, si ambos observadores miden las diferencias reales de longitud entre la fuente de luz y su posición (la longitud observada por los dos observadores sería la misma). Ahora bien, si la longitud que miden es la misma y la velocidad de la luz que miden es la misma, entonces el tiempo también debe ser el mismo.
La distancia medida por ambos observadores debe ser el radio de la esfera (sin contracción de la longitud) ya que se encuentran en cualquier punto de un círculo en la superficie de la esfera con la fuente de luz parpadeante en el centro.
La velocidad en cualquier punto de la trayectoria de un círculo en la superficie de la esfera será tangente al círculo y esa velocidad no tendrá componente hacia la fuente de luz.
Muchas gracias por tomarse el tiempo para responder esto. Leeré sobre este tema y volveré si tengo más preguntas, si no, aceptaré su respuesta.

Usted escribe: "Todos los observadores estarían de acuerdo en que la luz parpadea una vez cada 10 segundos, sin importar cuál sea su velocidad, mientras estén en el caparazón".

Usando su propio reloj estacionario, no, no lo harían, porque la fuente de luz se mueve en relación con ellos. Cada uno registraría el parpadeo de la luz a un ritmo más lento por un factor γ

¿Los observadores que se mueven sobre una esfera experimentarán la dilatación del tiempo?
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