La dilatación del tiempo como observador en la relatividad especial

Si estás sentado en el cohete, pareces estar estacionario y es la Tierra la que se mueve. Por lo tanto, las personas en el cohete verán el tiempo pasar lentamente en la Tierra. Por supuesto, aquí en la Tierra vemos el tiempo pasar lentamente en el cohete.

La situación tiene que ser simétrica porque es una parte fundamental de la relatividad especial que todos los marcos sean iguales y que no haya marcos especiales. Si las personas en el cohete vieran que el tiempo pasa más rápido en la Tierra, eso les demostraría que se estaban moviendo y que la Tierra estaba estacionaria, y SR lo prohíbe.

Debe tener cuidado al lanzar conceptos como la dilatación del tiempo, ya que es fácil caer en trampas conceptuales y terminar con una paradoja. La única forma confiable de hacer las cosas es sentarse con una hoja de papel, elegir los eventos que le interesan y luego hacer las transformaciones de Lorentz para averiguar qué sucede.

Tienes algo de razón, en cierto sentido. El problema es que en relatividad debes tener mucho cuidado con lo que quieres decir cuando dices "observar".

Si estuvieras en una nave espacial que se alejara de la Tierra a la mitad de la velocidad de la luz y miraras hacia atrás a la Tierra, incluso sin la dilatación del tiempo verías los eventos que suceden en cámara lenta porque la luz tarda más en llegar a ti cuanto más lejos. lejos estas Esto es básicamente lo mismo que el efecto doppler. Si no hubiera dilatación del tiempo, entonces por cada dos segundos de tu tiempo verías un segundo del tiempo de la Tierra. Teniendo en cuenta la dilatación del tiempo, ves un segundo del tiempo de la Tierra cada 1,73 segundos de tu tiempo.

En el viaje de regreso (viajando hacia la Tierra a la mitad de la velocidad de la luz), entonces, si no hubiera dilatación del tiempo, verías los eventos acelerados: por cada dos segundos de tu tiempo, verías tres segundos sucediendo en la Tierra. Teniendo en cuenta la dilatación del tiempo, verás tres segundos del tiempo de la Tierra en 1,73 segundos de tu tiempo.

Si no supieras nada de la relatividad, de modo que solo tuvieras en cuenta el efecto doppler, te parecería que los eventos en la Tierra se estaban produciendo alrededor de un 16 % más rápido de lo que deberían. Entonces, en ese sentido, verías que el tiempo viaja más rápido en la Tierra.

[Se les pide a los críticos que dibujen los diagramas relevantes por sí mismos antes de decir que estoy equivocado en esto; es sorprendente, pero si lo piensas detenidamente, tiene que ser cierto. Considere a alguien en la nave espacial que recibe "ticks" de un reloj en la Tierra; durante el viaje de ida y vuelta, tienes que recibir el número correcto de tics para la cantidad de tiempo que pasó en la Tierra, es decir, recibes más tics durante el viaje de ida y vuelta del reloj en la Tierra que de tu propio reloj.]

[Anexo: el punto clave aquí, que pasé por alto anteriormente, es que el observador ingenuo hará sus cálculos de manera diferente dependiendo de si piensa que se está moviendo o que la Tierra lo está; esto explica la asimetría en la aparente dilatación del tiempo y deja en claro por qué no es una buena descripción de la realidad.]

Por otro lado, si estuvieras viajando a la mitad de la velocidad de la luz en un círculo muy grande alrededor de la Tierra, verías que los eventos en la Tierra ocurren un 16% más lento de lo que esperas. Entonces, la dilatación del tiempo aparente (medida por un observador ingenuo en el cohete espacial) varía según su dirección relativa y su velocidad relativa.

Al hacer correctamente la relatividad especial, imaginamos una red de observadores que viajan todos a la misma velocidad pero en diferentes lugares. Esto se puede simplificar (algo incorrectamente) suponiendo que el observador en la nave espacial tiene alguna forma de ver lo que estaba sucediendo en la Tierra "ahora mismo" sin estar limitado por la velocidad de la luz. Nota técnica: cuando digo "ahora mismo" quiero decir "ahora mismo en el marco de referencia del observador".

En este caso hipotético, el observador vería las cosas de manera muy diferente al observador ingenuo descrito anteriormente. Tanto en el viaje de ida como en el de regreso (y también en un viaje circular), los eventos en la Tierra se verían un 16% más lentos de lo normal. Este es el comportamiento que tu maestro (y John) está describiendo; un observador en el cohete espacial y un observador en la Tierra se ven en cámara lenta. Esta dilatación del tiempo depende solo de la velocidad relativa, no de la dirección del viaje, y es real en el sentido en que la aparente dilatación del tiempo que describí antes no lo es.

Sin embargo, cada vez que la nave espacial aceleraba, sucedía algo extraño.

Suponga que se aleja de la Tierra a la mitad de la velocidad de la luz durante un año, tarda un día en dar la vuelta y luego viaja de regreso, también a la mitad de la velocidad de la luz durante un año. En lo que a ti respecta, estarías fuera durante dos años. Durante el primer año, a la salida, verías pasar 10,4 meses en la Tierra. Durante el segundo año, en el camino de regreso, también verías 10,4 meses en la Tierra. Sin embargo, durante el cambio de rumbo, en un solo día de su tiempo, verían pasar 6,9 meses en la Tierra, lo que hace un total de 27,7 meses. Al final del viaje has experimentado un 16% menos de tiempo que la Tierra, pero (desde tu punto de vista) todo sucedió cuando aceleraste; el resto del tiempo era la Tierra, no tú, la que iba en cámara lenta.

Desde el punto de vista de un observador en la Tierra, fíjate, estuviste en cámara lenta al 16% todo el tiempo; estabas en cámara muy lenta mientras acelerabas, pero debido a que eso fue solo por un corto tiempo, no contribuyó significativamente a la dilatación general del tiempo. Esto es difícil de entender, pero esa es la realidad para ti. :-)

[Si no tiene un telescopio más rápido que la luz, puede reemplazar lo anterior con un experimento mental que involucre una red de observadores que viajen en tándem con la nave espacial, todos yendo a la misma velocidad y acelerando al mismo tiempo (en su marco de referencia mutuo); más tarde, recopila notas de todos los observadores que registran cuándo (en su marco de referencia) pasaron por la Tierra y qué fecha de la Tierra era en ese momento.]

El universo en realidad sigue la relatividad general pero se aproxima mucho a la relatividad especial en el campo gravitatorio de la Tierra porque tiene una velocidad de escape que es mucho más baja que la velocidad de la luz de 11 km/s. Supongamos que el universo sigue exactamente la relatividad especial. Según la relatividad especial, todos los objetos experimentan la dilatación del tiempo por un factor de$\sqrt\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$y la contracción de la longitud por un factor de$\sqrt\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Además, la magnitud del momento relativista es$v\sqrt\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.

Realice el siguiente experimento mental. Estás en medio de una larga nave espacial cilíndrica vacía que viaja a la mitad de la velocidad de la luz en la dirección del cilindro. Supón que tienes un arma que dispara simultáneamente dos balas en direcciones opuestas a la mitad de la velocidad de la luz mientras estás en reposo. Ahora supongamos que disparas las balas hacia los dos extremos de la nave espacial mientras estás en el medio de la nave espacial. El que disparó hacia la parte trasera de la nave espacial tendrá velocidad cero y el que disparó hacia la parte delantera viajará a$\frac{4}{5}c$. El que disparó hacia la parte trasera llegará a la parte trasera antes de que el que compre hacia la parte delantera llegue a la parte delantera. Sin embargo, la luz del evento del que disparó hacia la parte trasera también tardará más en volver a usted. Las matemáticas muestran que observará exactamente el mismo resultado que si la nave espacial estuviera estacionaria si también tiene en cuenta la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud.

¿Qué pasa si disparas una bala hacia la parte delantera en$42c$? Seguramente, la bala no puede retroceder en el tiempo. Entonces, el hecho de que haya pasado tan poco tiempo entre que disparó la bala y observó que golpeó la parte delantera le indica que la nave espacial se movía hacia adelante. Resulta que cualquier materia puede viajar a la velocidad de la luz o más rápido. Si un objeto sigue acelerando uniformemente en su propio marco de referencia, a medida que se acerca a la velocidad de la luz, experimenta más dilatación del tiempo y contracción de la longitud y nunca alcanzará la velocidad de la luz por esa razón.

Si no puedes ver afuera, no puedes hacer ningún experimento para ver si te estás moviendo o no. Para cualquier evento que observe, el lugar y la hora en que deduce que ocurrieron bajo el supuesto de que la nave espacial está estacionaria se dice que es el lugar y la hora en que ocurrieron en el marco de referencia de la nave espacial. El lugar y la hora en que ocurrieron en el marco de referencia de la nave espacial está completamente determinado por el lugar y la hora en que realmente ocurrieron y se obtiene mediante una transformación de Lorentz. Cuando dos eventos están separados en el espacio por más de lo que estuvieron separados en el tiempo multiplicado por la distancia que la luz puede viajar en ese tiempo, es posible que una transformación de Lorentz cambie el orden del tiempo de los eventos.

Hubo un experimento con un dispositivo que, bajo el supuesto de que la materia sigue la física newtoniana y la luz viaja a través de un medio a una velocidad fija, se podía predecir que podríamos medir el movimiento a través de ese medio. Probablemente se deba a que la Tierra gira alrededor del sol a unos 30 km/s. Sin embargo, no se midió ninguna desviación en el dispositivo. Esa es una evidencia bastante sólida para la teoría de la relatividad general, que puede aproximarse muy de cerca a la relatividad especial, excepto en casos extremos, como cerca del horizonte de eventos de un agujero negro.

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson%E2%80%93Morley_experiment

Se cree ampliamente que la simetría recíproca en la Relatividad Especial se debe a la isotopía de la velocidad de la luz en todas las referencias en movimiento relativo. marcos De hecho, si cada observador sincroniza relojes en su marco de referencia de acuerdo con el método de Einstein , entonces cada uno de ellos descubrirá que un solo reloj que se mueve en relación con su marco mide un intervalo de tiempo más corto que (al menos dos) Einstein, sincronizado y espacialmente separado. relojes dentro de su marco.

Por supuesto, si se mide por medio de relojes sincronizados de Einstein , el valor de la velocidad de la luz en un sentido será exactamente igual a c.

Sin embargo, la suposición de que la velocidad de la luz en un solo sentido debe ser necesariamente isotrópica en todos los laboratorios en movimiento relativo parece muy poco común y contraria a la intuición, así como que el reloj A puede ser más lento que el reloj B y viceversa. De hecho, uno no puede ser más lento que el otro y viceversa, así como la velocidad de la luz no puede ser isotrópica en todos los marcos de referencia.

El siguiente experimento simple (para probarlo podemos referirnos con seguridad directamente al artículo de Einstein de 1905 ) muestra claramente que este no es el caso.

Considere un observador A "estacionario", que tiene un puntero láser. Dirige este puntero láser estrictamente perpendicular a la dirección de movimiento del observador B, que tiene un espejo (ver animación). Este puntero láser emite pulsos de luz monocromática verde de frecuencia adecuada$\nu$.

En ese momento, cuando el observador B cruza este haz de luz, se mueve tangencialmente al frente de onda. En este instante, A y B están en sus puntos (independientes del marco) de máxima aproximación y no hay cambio en la distancia en función del tiempo. Por lo tanto, el observador B verá una contribución puramente relativista de la dilatación del tiempo al efecto Doppler. ¿Qué frecuencia medirá el observador B en este instante? Para obtener una respuesta, echemos un vistazo al famoso artículo de Albert Einstein de 1905, § 7.

“De la ecuación para$\omega‘$se sigue que si un observador se mueve con velocidad$v$relativamente a una fuente infinitamente distante de luz de frecuencia$\nu$, de tal forma que la línea de unión “fuente - observador” forma el ángulo$\phi$con la velocidad del observador referida a un sistema de coordenadas que está en reposo con respecto a la fuente de luz, la frecuencia$\nu‘$de la luz percibida por el observador viene dada por la ecuación":

Este es el principio de Doppler para cualquier velocidad”.

Por lo tanto, según A. Einstein, en los puntos de máxima aproximación$(\cos\phi = 0)$el observador en movimiento medirá$\gamma$veces mayor frecuencia de luz, o que el reloj "en reposo" está corriendo$\gamma$veces más rápido que el suyo.

El observador en movimiento verá la fuente no en su posición real, sino frente a él en el ángulo$\sin \theta = v/c$. El observador en movimiento puede explicar el desplazamiento hacia el azul de la frecuencia por la dilatación de su propio reloj y el desplazamiento de la posición aparente de la fuente por la aberración relativista de la luz. Observe que la distancia aparente a la fuente será$\gamma$los tiempos aumentan para él debido a la contracción de su propia vara de medir. La aberración relativista de la luz se explicó claramente en las Conferencias Feynman, Relativistic Effects in Radiation, 34-8 .

La luz reflejada por un espejo regresará al receptor (observador “estacionario”) con la misma frecuencia que una vez fue emitida. Un espejo en movimiento no es más que un reloj en movimiento; por lo tanto, frecuencia$\nu‘$reduce$\gamma$retrocede y se convierte en frecuencia$\nu$.

Queda claro que los observadores que se mueven relativamente de ninguna manera pueden medir el reloj del otro como dilatado; si uno emite luz en el ángulo correcto, este pulso de luz se acercará al otro en un ángulo oblicuo y viceversa.

La fuente y el observador también pueden considerarse moviéndose con las mismas pero opuestas velocidades dentro de un cierto marco de referencia; en este caso, la fuente debe girar el puntero láser hacia atrás y el observador-receptor hacia adelante en ángulos iguales; en este caso no medirán ninguna dilatación de los relojes de los demás; (Dado que tanto el emisor como el receptor tienen la misma velocidad relativa a este sistema de referencia, la dilatación de ambos relojes es de la misma magnitud y no hay diferencia de dilatación del tiempo.) [ver fig.4 en este artículo 7

Se puede argumentar que en el marco del "observador en movimiento" este efecto (desplazamiento de frecuencia hacia el azul) puede explicarse por la presencia de un componente longitudinal debido al movimiento de la fuente. Sí puede. ¿Así que lo que? Primero, Einstein afirmó claramente que el observador se movía en el marco de la fuente; segundo, tanto el "observador" como la "fuente" de ninguna manera podrían ver el corrimiento al rojo de la frecuencia; si uno mide una frecuencia más alta, el otro definitivamente verá una más baja.

Todo eso tomado en conjunto indica el absurdo de Einstein: la sincronización en cada marco de referencia. Si el observador A "hace" que la velocidad de la luz en un sentido sea isotrópica en su marco (de acuerdo con la sincronización de Einstein ), entonces (para traer el resultado de la medición por medio de un reloj sincronizado de acuerdo con la medición de la frecuencia) "se mueve" el observador B debe tener en cuenta su velocidad en el marco del primero y volver a sincronizar los relojes en su marco en consecuencia.

De esta forma estos observadores introducirán la simultaneidad universal; el par de relojes del observador A estarán sincronizados con Einstein y el par de relojes del observador B estarán sincronizados con Reichenbach . En otras palabras, si el laboratorio del observador B se mueve en el marco de A con una velocidad cercana a la de la luz, entonces, teniendo en cuenta la contracción de Lorentz y la desaceleración de estos relojes, medidos por estos relojes "hacia adelante" uno –la velocidad de la luz tenderá a c/2 y la “hacia atrás” a un valor infinitamente grande, manteniendo así la isotropía de la velocidad de la luz en los dos sentidos