Lie Derivado de Kahler 2-forma

Supongamos que hay un vector Killing k en una variedad de Kahler METRO . Por definición, k genera isometrías de la métrica. Eso es, L k gramo = 0 , dónde L es la derivada de Lie. Al mismo tiempo, existe una estructura compleja holomorfa que satisface L k j = 0 . Tengo dos preguntas:

  1. Es L k j = 0 genérico para los colectores de Kahler o es específico de mi ejemplo particular en el que quería j para conmutar con los generadores SUSY (aparentemente esto tiene algo que ver con hacer j holomorfo)?

  2. Más importante aún, la forma 2 fundamental en la variedad de Kahler se define como ω a b = gramo a C j b C . ¿Cómo puedo mostrar eso? L k ω = 0 ?

En cierto sentido es obvio: L k ω a b = L k ( gramo a C j b C ) = ( L k gramo a C ) j b C + gramo a C ( L k j b C ) = 0 ya que la derivada de Lie obedece la regla del producto.

Sin embargo, también debería poder recuperarlo en componentes. Para un campo tensor general de rango 2,

( L k T ) a b = k C ∇ C T a b + T a C ∇ b k C + T C b ∇ a k C .
si uso eso ω a b = gramo a C j b C en esta fórmula general, obtengo:
( L k ω ) a b = k C ∇ C ( gramo a d j b d ) + gramo a d j C d ∇ b k C + gramo C d j b d ∇ a k C
y no sé cómo demostrar que esto es igual a cero?

Respuestas (1)

Las afirmaciones no son ciertas en general completa. Por ejemplo, R 2 norte es una variedad de Kähler y cualquier vector k es un vector de matanza. Pero los derivados de Lie de j y ω no desaparezcas por un general k .

Sin embargo, este ejemplo fue especial porque no estaba lo suficientemente curvado. Para una variedad de Kähler genérica y lo suficientemente curva, los objetos j , ω puede calcularse básicamente de forma única a partir de un campo de tensor métrico existente gramo . porque son funciones de gramo , su derivada de Lie debe desaparecer porque la derivada de Lie de la métrica gramo desaparece

No intentaré escribir las funciones explícitamente, en parte porque es metodológicamente ilógico. Si uno sabe que una variedad es una variedad de Kähler, entonces hablar de la forma de Kähler y la estructura compleja debería ser "más fundamental" que hablar de la métrica. La métrica se calcula naturalmente a partir de la forma de Kähler, no al revés. Entonces, en ese caso, tiene sentido suponer que la derivada de Lie de la forma de Kähler y la estructura compleja se desvanece, y probar que la derivada de Lie de la métrica también se desvanece.

Para un campo dado, si esas afirmaciones son ciertas, debería ser más fácil probar la desaparición de la derivada de Lie de la forma de Kähler o la estructura compleja porque estas derivaciones usan las simplificaciones de la geometría compleja.

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