Ecuación del calor... ¿con enfriamiento por Newton?

Question

Ecuación del calor... ¿con enfriamiento por Newton?

Física
temperatura
termodinámica
condiciones de borde
ecuaciones diferenciales

JP McCarthy

Tengo la siguiente ecuación diferencial que pretende representar la temperatura de equilibrio en un punto $x\in [0,L]$ en una varilla no aislada de longitud $L$ , cuyos extremos se mantienen constantes $T(0)=T_1$ y $T(L)=T_2$ , en el aire a temperatura $T_a$ :

\frac{d^{2} T}{d X^{2}} + h^{'} (T_{a} - T (X)) = 0, (⋆)

$\frac{d^2T}{dx^2}+h'(T_a-T(x))=0, \qquad(\star)$ dónde

h^{'}

$h'$ es una constante (que cuando aumenta conduce a una mayor transferencia de calor entre la varilla y el aire).

Si resuelvo esto obtengo una solución, con forma de u cuando $T_a<\min(T_1,T_2)$ , y una forma de n si $T_a>\max(T_1,T_2)$ .

El problema es que no tengo idea de dónde viene. Parece ser una mezcla de la ecuación del calor:

k \cdot \frac{\partial^{2} T}{\partial X^{2}} = \frac{\partial T}{\partial t},

$k\cdot \frac{\partial^2T}{\partial x^2}=\frac{\partial T}{\partial t},$

y enfriamiento de Newton:

\frac{d T}{d t} = r \cdot (T_{a} - T (t)),

$\frac{dT}{dt}=r\cdot (T_a-T(t)),$

sin embargo, parece que no puedo juntar los dos palos. Un enfoque totalmente ingenuo da:

\frac{d^{2} T}{d X^{2}} = \underset{= h^{'}}{\underset{⏟}{\frac{r}{k}}} (T_{a} - T (X)) .

$\frac{d^2T}{dx^2}=\underbrace{\frac{r}{k}}_{=h'}(T_a-T(x)).$

Sin embargo, esto es incorrecto porque da la concavidad incorrecta (y realmente no tiene ningún sentido --- para el equilibrio seguramente $\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=0$ ).

¿Quizás este término proviene de algún tipo de condición límite en la barra (+ simetría axial)? Tal vez haya un simple cambio de signo ya que el cambio de temperatura va en dirección opuesta.

¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre la ecuación ( $\star$ )? ¿Es solo un modelo de juguete?

JP McCarthy

Alguien había hecho una edición sin sentido y cometió un error en eso, así que devolví la pregunta a su forma original perfectamente correcta.

Respuestas (2)

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Alguien había hecho una edición sin sentido y cometió un error en eso, así que devolví la pregunta a su forma original perfectamente correcta.

tpg2114 · Answer 1

La ecuación surge de agregar un término fuente a la ecuación de difusión:

k \frac{\partial^{2} T}{\partial X^{2}} + r (T_{a} - T (X)) = \frac{\partial T}{\partial t}

$k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + r (T_a -T(x)) = \frac{\partial T}{\partial t}$

y luego asume el estado estacionario:

\frac{\partial^{2} T}{\partial X^{2}} + h^{'} (T_{a} - T (X)) = 0

$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + h^\prime (T_a - T(x)) = 0$

dónde $h^\prime = r/k$ . Básicamente es la suma de dos modelos (difusión, enfriamiento) y suponiendo estado estacionario. Su confusión puede provenir de tratar de conectar un modelo a otro, en lugar de combinarlos.

¿Estamos diciendo algo como: la temperatura en un punto está cambiando con respecto al tiempo debido a la transferencia de calor en/a lo largo de la varilla MÁS el enfriamiento de Newton al aire? Eso tiene sentido.
Esta ecuación surgió del modelo 3D del intercambio de calor de la varilla con el aire circundante. $\lambda \nabla ^2 T=0$ con valor de Neuman en una superficie $-\lambda \nabla T.\vec {n}=h(T_a-T)$ . Después de promediar sobre la sección transversal de la barra en el plano $(y,z)$ , obtenemos un modelo 1D.
@JPMcCarthy ¡Está bien! Ampliaré mi comentario a una respuesta con un ejemplo de cálculos de modelos 3D y 1D.
@JPMcCarthy El enfoque al que se refiere Alex Trounev también es correcto, pero proviene exactamente de la dirección opuesta a este enfoque (pero ambos tendrán el mismo resultado final). Este enfoque toma modelos matemáticos de juguete y los ensambla para que sean algo físico que sea "útil" (para alguna definición de útil). El otro enfoque es comenzar con lo físico, es decir, "la energía debe conservarse", y aplicar tantas aproximaciones como sea necesario para llegar a un modelo matemático que sea manejable, sin dejar de ser "útil". Ambas direcciones son útiles y solo depende de su punto de partida.
Para los modelos "comunes", como la difusión de Fickian, ya sabemos cuál es el modelo final después de todas nuestras suposiciones, por lo que podemos escribirlo. Podría haber comenzado con "la energía se conserva" y asumir un continuo, capacidad calorífica constante, densidad constante, conductividad térmica constante, gradientes predominantemente en una dirección, difusión fickiana, algún modelo de radiación, sin convección, sin desplazamiento, sin fuerzas corporales... probablemente algunos otros también, y terminan en la ecuación ( $\star$ ).
Pero la derivación de los primeros principios es una pregunta diferente a la que preguntaste aquí. Aquí, la pregunta era "Tengo estos dos modelos para estos dos procesos, ¿cómo se combinan?". No "Estoy interesado en la difusión y la radiación con (todas estas) suposiciones, ¿cómo llego al modelo final?"
@ tpg2114 Puedo derivar, por ejemplo, la ecuación de calor 1D. Estoy feliz con tu respuesta para ser honesto.

Alex Trounev · Answer 2

Esta ecuación surgió del modelo 3D de intercambio de calor de la varilla cilíndrica con el aire circundante.

λ \nabla^{2} T = 0

$\lambda \nabla ^2 T=0$ con valor de Neuman en una superficie

- λ \nabla T . \vec{norte} = h (T_{a} - T), r = R

$-\lambda \nabla T.\vec {n}=h(T_a-T), r=R$ y con condiciones de Dirichlet en los extremos

T (r, 0) = T_{1}, T (r, L) = T_{2}

$T(r,0)=T_1, T(r,L)=T_2$ ¿Cómo es la solución a este problema? Poner

L = 4, R = 0.25, T_{1} = 2, T 2 = 1, T_{a} = 1, h = 0.25, λ = 1

$L=4, R=0.25,T_1=2,T2=1,T_a=1,h=0.25, \lambda =1$ , entonces las distribuciones de temperatura 2D y 3D a lo largo de la barra se ven como

Ahora queremos construir un modelo 1D para describir la distribución de temperatura a lo largo de la varilla. Usamos la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas

λ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r}) + λ \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}} = 0 . (1)

$\lambda\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r} (r\frac {\partial T}{\partial r})+\lambda \frac {\partial ^2T}{\partial z^2}=0 . (1)$ Suponemos que la distribución de temperatura es casi uniforme a lo largo de la coordenada radial, por lo tanto

\int_{0}^{R} T (r, z) 2 π r d r = π R^{2} T (z)

$\int _0^R {T(r,z) 2\pi rdr}=\pi R^2 T(z)$ Multiplicamos la ecuación (1) por

2 π r d r

$2\pi rdr$ , integre y use la condición de contorno en la superficie

2 π λ R \frac{\partial T}{\partial r} |_{r = R} + π R^{2} λ \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}} = 0 . (2)

$2 \pi \lambda R\frac {\partial T}{\partial r}|_{r=R}+\pi R^2\lambda \frac {\partial ^2T}{\partial z^2}=0 . (2)$ Finalmente tenemos

\frac{d^{2} T}{d z^{2}} + h^{'} (T_{a} - T) = 0

$\frac {d^2T}{d z^2}+h'(T_a-T)=0$ con

h^{'} = \frac{2 h}{λ R}

$h'=\frac {2h}{\lambda R}$ . reemplazando aquí

z \to x

$z\rightarrow x$ , llegamos a la ecuación en discusión. Ahora compare las dos soluciones en el eje (izquierda) y en la superficie (derecha). Vemos un buen partido.

+1: Buena manera de agregar un término fuente a las ecuaciones a través de las condiciones de contorno. Me pregunto cómo se vería esto para un gas, donde el transporte de energía radiactiva puede ser no local.
@AtmosphericPrisonEscape Gracias. Indique exactamente lo que quiere decir con "el transporte de energía radiactiva puede ser no local".
Alex. Gracias. No rechazaré la respuesta dada anteriormente (cumple con mis necesidades), pero le daré una recompensa por esta respuesta.
... espera, ¿no tienes recompensas aquí? No puedo agregar una recompensa (¿todavía?).

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