Ley de Coulomb: ¿por qué k=14πϵ0k=14πϵ0k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} [duplicado]

Definición del símbolo$k$en la ley de Coulomb,

$$F=k\frac{q_1q_2}{r^2},$$ ser $k=1/4\pi\epsilon_0$, está perfectamente permitido cuando uno lo entiende simplemente como una definición de $\epsilon_0$. La motivación para esta definición es que cuando calculas las fuerzas entre dos placas de área con carga opuesta $A$y carga $Q$una distancia $d$aparte, salen como $F=\frac{2\pi kQ^2}{d}=\frac{Q^2}{2\epsilon_0 d}$, donde el factor de $4\pi$proviene de la aplicación juiciosa de la ley de Gauss.

Cuando desarrolla esto aún más en una teoría de la capacitancia, encuentra que implica que el voltaje entre las placas es$V=Q/C$, dónde$C=\epsilon_0 A/d$. Además, si desea insertar un dieléctrico entre las placas (como suele hacer), la capacitancia cambia a

$$C=\epsilon A/d$$ dónde $\epsilon$se conoce como la permitividad eléctrica del dieléctrico. $\epsilon_0$se entiende entonces naturalmente como "la permitividad del espacio libre" (lo que, por supuesto, simplemente define lo que entendemos por permitividad).

La pregunta es entonces, por supuesto, ¿por qué esta unidad "derivada",$\epsilon_0$, tratado como más "fundamental" que el original$k$? La respuesta es que no lo es, ya que son equivalentes, pero la permitividad del espacio libre es mucho más fácil de medir (y ciertamente lo fue a fines del siglo XIX y principios del XX, cuando la investigación eléctrica estaba muy orientada hacia las tecnologías basadas en circuitos). , de modo que salió ganador, y ¿por qué tiene dos símbolos para cantidades equivalentes?

La unidad del segundo se define como la duración de un cierto número de periodos de radiación emitida por un tipo particular de transición de electrones entre niveles de energía en un isotipo de Cesio (ver aquí ).

Se supone que la luz viaja a una velocidad constante.$c$independiente del marco de referencia de uno, así que ahora que hemos fijado una unidad de tiempo, podemos definir una unidad de longitud: el metro es la distancia que viaja la luz en$1/299792548\, \mathrm{s}$.

También definimos la unidad SI de corriente (el amperio) para que la permeabilidad del espacio libre tome un valor deseado en unidades SI ($4\pi \times 10^{-7}$).

Entonces podemos definir

$$\varepsilon _0=\frac{1}{\mu _0c^2}$$ así como $$k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}.$$

Ahora, ten en cuenta que no tienes que arreglar un sistema de unidades para hacer esto (como hice antes). Como las anteriores son definiciones , se mantendrán en cualquier sistema de unidades. Sin embargo, para ver que estas definiciones no terminan siendo circulares, ayuda ver que podemos definir$\mu _0$y$c$en términos de fenómenos puramente físicos. En otras palabras, para que las definiciones anteriores tuvieran sentido, teníamos que saber que podíamos definir$c$y$\mu _0$independiente de$\varepsilon _0$y$k$primero. La definición anterior de unidades SI le ayuda a ver que esto se puede hacer.

Si la pregunta es por qué el "$4\pi$" en la constante de Coulomb (k=$\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$), entonces una pregunta igualmente válida podría ser por qué el "4$\pi$" en la permeabilidad magnética del vacío,$\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$?

Quizás se pueda encontrar una pista en la ecuación de Maxwell para la velocidad de la onda electromagnética (luz) en el vacío,$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}$.

Por supuesto, Maxwell derivó esta relación mucho más tarde que Coulomb.

Maxwell relaciona la permitividad eléctrica con la permeabilidad magnética en el vacío,$\mu_{0}=\frac{1}{\epsilon_{0}c^{2}}$al que se le da un valor de$\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$en unidades SI.

La 'razón' de la "$4\pi$" que aparece aquí y en la constante de Coulomb (lo creas o no) para que las ecuaciones de Maxwell se puedan escribir sin ningún tipo de$4\pi$' factores!

Para entender esto, considere cómo los fenómenos electrostáticos se expresan en la ley de Coulomb como "intensidad de campo a una distancia al cuadrado", en comparación con (el equivalente) la ley de Gauss, que describe el "flujo a través de una superficie cerrada que encierra la carga".

El flujo total es la densidad de flujo multiplicada por el área superficial, que para una esfera de radio$r$es dado por$S=4\pi r^{2}$, por lo que la relación$S/r^{2}$=$4\pi$es simplemente el resultado de la geometría del espacio y la simetría esférica.

Se dice que el sistema de unidades SI (a diferencia de las unidades de Gauss) está 'racionalizado' porque permite la expresión de las ecuaciones de Maxwell sin la$4\pi$factores Para hacer esto, el$4\pi$factor simplemente ha sido "integrado" en la definición (unidad SI) de la constante universal para la permeabilidad del vacío,$\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}H/m$, de donde podemos expresar la constante de Coulomb como k=$\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}$.