¿Hay casos en los que ∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0\nabla\cdot\iiint\frac{\ mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0?

Question

¿Hay casos en los que ∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0\nabla\cdot\iiint\frac{\ mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0?

Física
campos vectoriales
magnetostática
electromagnetismo

Tob Ernack

En Electrodinámica clásica de Jackson , Sección 5.4 (Potencial vectorial), el autor parece suponer que debido a que $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ , lo siguiente es válido para la densidad de corriente (donde la integral se realiza en todo el espacio):

\nabla \cdot ∭ \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = 0

$\nabla\cdot\iiint\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = 0$

Sin embargo, en general sabemos que en un volumen cerrado $V$ , tenemos:

\nabla \cdot \underset{V}{∭} \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = \underset{V}{∭} \nabla \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = \underset{V}{∭} j (X^{'}) \cdot \nabla (\frac{1}{| X - X^{'} |}) d V^{'}

$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\nabla\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V'$

= - \underset{V}{∭} j (X^{'}) \cdot \nabla^{'} (\frac{1}{| X - X^{'} |}) d V^{'} = - \underset{V}{∭} \nabla^{'} \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} + \underset{V}{∭} \frac{\nabla^{'} \cdot j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'}

$= -\iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla'\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' + \iiint\limits_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V'$

Ahora, en el caso magnetostático, sabemos por la ecuación de continuidad $\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$ que de hecho, $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ sobre todo el espacio (porque no hay fluctuaciones locales de densidad de carga), por lo que el segundo término desaparece y nos queda:

\nabla \cdot \underset{V}{∭} \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = - \underset{V}{∭} \nabla^{'} \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = - \underset{\partial V}{∯} \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} \cdot d S^{'}

$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$

Ahora tomando un límite a medida que el volumen se convierte en todo el espacio, vemos que la integral de superficie se toma en regiones cada vez más alejadas de $\mathbf{x}$ . Si hacemos ciertas suposiciones sobre las asintóticas de $\mathbf{J}$ , como $|\mathbf{J}(\mathbf{x}')| = o\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)$ , entonces podemos acotar la integral de superficie y mostrar que tiende a cero.

Hablando físicamente, se podría argumentar que esto es suficiente porque los sistemas realistas siempre tendrán corrientes ligadas en un volumen finito de todos modos. Pero a veces consideramos escenarios idealizados como líneas rectas infinitas con una corriente uniforme $I$ . Estos casos pueden causar problemas. Si solo tiene uno (o un número finito) de tales cables, creo que aún puede mostrar que la integral va a cero debido a la dependencia inversa de la distancia en el integrando (no estoy seguro). Pero incluso entonces, uno podría razonablemente imaginar situaciones idealizadas que comprendan infinitos cables de este tipo que podrían hacer que la integral de superficie no converja a cero.

Otra dificultad es que la convergencia debe mantenerse para cualquier superficie que encierre todo el espacio eventualmente. Si restringimos a esferas de radio $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'| = R$ centrado alrededor $\mathbf{x}$ , entonces la convergencia es trivial porque obtenemos

- \underset{\partial V}{∯} \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} \cdot d S^{'} = - \frac{1}{R} \underset{\partial V}{∯} j (X^{'}) \cdot d S^{'} = 0

$-\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = -\frac{1}{R}\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = 0$ (por el teorema de la divergencia y la ecuación de continuidad). Pero si sus superficies no son esféricas, este truco ya no funciona. Pero tal vez hay una manera de evitar este problema.

Me interesa conocer las suposiciones más generales que se pueden hacer sobre $\mathbf{J}$ para satisfacer la convergencia, y también en el conocimiento de situaciones que podrían considerarse donde esta suposición es incorrecta.

Cineed Simson

\nabla \cdot J = 0

$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ implica un estado estacionario. Y el siguiente intergal está sobre las fuentes, no está sobre todo el espacio:

\nabla \cdot \int \frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d V^{^{'}}

$\nabla\cdot\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V^{'}$ . Hay tanto cúmulo de las integrales triples que es difícil para mí leer.

Tob Ernack

Bueno, es sobre todo el espacio, en el sentido de que donde no hay fuentes, solo tienes

J (x^{'}) = 0

$\mathbf{J}(\mathbf{x}') = \mathbf{0}$ . Como mencioné en el cuerpo de la pregunta, a veces puede considerar escenarios en los que

J

$\mathbf{J}$ es distinto de cero en una región ilimitada del espacio. Lo siento por el desorden creado por las ecuaciones, tal vez puse demasiado detalle. Pero por lo general trato de equivocarme al decir demasiado en lugar de decir demasiado poco.

Cineed Simson

Algo está mal con la tercera línea. Volver a escribir:

- \nabla^{‘} \cdot \int \frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d V^{^{'}}

$-\nabla^{`}\cdot\int\frac{{J}({x}')}{\left|{x}-{x'}\right|}{d}V^{'}$ como

\int_{D} f \nabla \cdot J d V

$\int_{D} f\nabla\cdot J dV$ - eliminando el signo menos, las dependencias x y los números primos - donde

f = 1 / r

$f=1/r$ .Entonces por el teorema de la divergencia:

\int_{D} f \nabla \cdot J d V = \int_{\partial D} f J \cdot \hat{n} d σ - \int_{D} \nabla f \cdot J d V

$\int_{D}f\nabla\cdot JdV=\int_{\partial D} f J\cdot\hat{n} d\sigma-\int_{D} \nabla f\cdot JdV$ . Si

\nabla \cdot J = 0

$\nabla\cdot J=0$ luego el otro

2

$2$ integrales son iguales entre sí. Si la integral de superficie se anula, entonces también lo hace la

3^{r d}

$3^{rd}$ integral.

Respuestas (3)

¿Hay casos en los que ∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0\nabla\cdot\iiint\frac{\ mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0?

$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ implica un estado estacionario. Y el siguiente intergal está sobre las fuentes, no está sobre todo el espacio: $\nabla\cdot\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V^{'}$ . Hay tanto cúmulo de las integrales triples que es difícil para mí leer.
Bueno, es sobre todo el espacio, en el sentido de que donde no hay fuentes, solo tienes $\mathbf{J}(\mathbf{x}') = \mathbf{0}$ . Como mencioné en el cuerpo de la pregunta, a veces puede considerar escenarios en los que $\mathbf{J}$ es distinto de cero en una región ilimitada del espacio. Lo siento por el desorden creado por las ecuaciones, tal vez puse demasiado detalle. Pero por lo general trato de equivocarme al decir demasiado en lugar de decir demasiado poco.
Algo está mal con la tercera línea. Volver a escribir: $-\nabla^{`}\cdot\int\frac{{J}({x}')}{\left|{x}-{x'}\right|}{d}V^{'}$ como $\int_{D} f\nabla\cdot J dV$ - eliminando el signo menos, las dependencias x y los números primos - donde $f=1/r$ .Entonces por el teorema de la divergencia: $\int_{D}f\nabla\cdot JdV=\int_{\partial D} f J\cdot\hat{n} d\sigma-\int_{D} \nabla f\cdot JdV$ . Si $\nabla\cdot J=0$ luego el otro $2$ integrales son iguales entre sí. Si la integral de superficie se anula, entonces también lo hace la $3^{rd}$ integral.

Adam Latosiński · Answer 1

¿Por qué afirmas eso?

\int_{V} \nabla \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} = - \int_{V} \nabla^{'} \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'}

$\int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' = -\int_V \nabla' \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$ ? Esto no parece ser cierto. Deberías

\begin{aligned} \int_{V} \nabla \cdot \frac{j (X^{'})}{| X - X^{'} |} d V^{'} & = \int_{V} (\nabla \frac{1}{| X - X^{'} |}) \cdot j (X^{'}) d V^{'} = \\ = \int_{V} (- \nabla^{'} \frac{1}{| X - X^{'} |}) \cdot j (X^{'}) d V^{'} = \\ = \int_{V} \frac{1}{| X - X^{'} |} \nabla^{'} \cdot j (X^{'}) d V^{'} - \int_{V} \nabla^{'} \cdot (\frac{1}{| X - X^{'} |} j (X^{'})) d V^{'} = \\ = 0 - \int_{\partial V} \frac{1}{| X - X^{'} |} j (X^{'}) \cdot d S \end{aligned}

$\begin{align} \int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' &= \int_V \Big(\nabla \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' =\\&= \int_V \Big(-\nabla' \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' = \\ &= \int_V \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} \nabla' \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' - \int_V \nabla' \cdot \Big(\frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \Big){\rm d}V' =\\&= 0 - \int_{\partial V} \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \cdot {\rm d}{\bf S}\end{align}$ y esto desaparece si

J

${\bf J}$ desaparece lo suficientemente rápido. Tenga en cuenta que si no desaparece lo suficientemente rápido, entonces puede tener un problema con la convergencia de la integral

∭ \frac{J (x^{'})}{| x - x^{'} |} d V^{'}

$\iiint \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$ se apoderó de todo el espacio; para asegurarse de que está bien definido, necesita

J

${\bf J}$ desaparecer lo suficientemente rápido, y eso hace que el término límite desaparezca en el infinito.

Tienes razón, creo que me equivoqué en esa primera igualdad, y lo corregí ahora. Afortunadamente terminamos con la misma integral de superficie al final, debido al hecho de que ambos $\nabla\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x}') = 0$ y $\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x}') = 0$ .
Sin embargo, mi pregunta acerca de que la integral de superficie no siempre es cero sigue en pie. yo se que si $\mathbf{J}$ desaparece lo suficientemente rápido la integral es cero. Pero hay casos que señalé donde esto no es cierto (como cables infinitos, o tal vez una idealización donde hay una densidad de corriente uniforme en todo el espacio). En ese caso tampoco está claro que la integral diverja, pero no sé cómo demostrarlo.

Ján Lalinský · Answer 2

Tu idea sobre esferas de radio $R$ da la pista; si la densidad de corriente se comporta bien, la gran distancia de la superficie desde $\mathbf x$ hará la integral, en el límite $R\to\infty$ , ir a cero.

La situación considerada es de flujos de corriente eléctrica sin acumulación de cargas; lo que entra en una región, también sale de la región. Esto es muy común en la práctica, la corriente total que entra es igual a la corriente total que sale. En la práctica, esta corriente que entra es limitada, sin importar cómo se elija la superficie límite, porque la corriente en un solo cable es finita y el número de cables es finito.

La integral en cuestión se puede dividir en dos partes, una debido a la corriente que entra a la región y otra debido a la corriente que sale de la región:

\int_{\partial V} j / r \cdot d S = C_{i norte} + C_{o tu t}

$\int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S = C_{in} + C_{out}$ dónde

C_{i norte} = \int_{\partial V} x_{i norte} (X^{'}) j (X^{'}) / r \cdot d^{2} X^{'}

$C_{in} = \int_{\partial V} \chi_{in}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x'$ y

C_{o tu t} = \int_{\partial V} x_{o tu t} (X^{'}) j (X^{'}) / r \cdot d^{2} X^{'}

$C_{out} = \int_{\partial V} \chi_{out}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x'$ dónde

χ_{i n}

$\chi_{in}$ es función característica de la parte de la superficie por donde entra la corriente (

j \cdot d S < 0

$\mathbf j\cdot d\mathbf S < 0$ ).

Usemos la desigualdad triangular:

| \int_{\partial V} j / r \cdot d S | \leq | C_{i norte} | + | C_{o tu t} | .

$\left| \int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S \right| \leq |C_{in}| +| C_{out}|.$

Entonces, la integral obviamente irá a cero si ambos $C_{in}$ y $C_{out}$ ir a cero. Que estos dos lleguen a cero es una condición suficiente (puede que no sea necesaria).

Deja que los más pequeños $r=|\mathbf x - \mathbf x'|$ para alguna etapa del proceso limitante ser denotada $r_{min}$ . Por supuesto, en el proceso de limitación, toda la frontera tiene que expandirse hasta el infinito, por lo que $r_{min}\to\infty$ .

| C_{i norte} | \leq \int_{\partial V} x_{i norte} (X^{'}) | j (X^{'}) \cdot d^{2} X^{'} | / r_{metro i norte} = \frac{I_{i norte}}{r_{metro i norte}}

$|C_{in}| \leq \int_{\partial V} \chi_{in}(\mathbf x')|\mathbf j(\mathbf x')\cdot d^2\mathbf x'|/r_{min} = \frac{I_{in}}{r_{min}}$ dónde

I_{i n}

$I_{in}$ es el valor (positivo) de la corriente debido a las cargas que entran en la región. Mientras esta corriente no crezca demasiado rápido con

r_{m i n}

$r_{min}$ , la contribución irá a cero a medida que el límite se expande hasta el infinito. Del mismo modo para la otra contribución.

Entonces, la condición suficiente para que la integral de superficie llegue a cero es que la corriente eléctrica que atraviesa la superficie no crezca demasiado rápido a medida que la superficie se expande. Si la corriente está limitada por un valor máximo conocido sin importar el límite, como es el caso si el sistema está hecho de un número finito de cables (posiblemente infinitamente largos) de corriente finita, entonces la integral irá a cero. Por lo tanto, uno puede considerar un número finito arbitrario de cables infinitos, cada uno con una corriente finita. Sin embargo, si el número de cables que cruzan el límite aumenta tan rápido o más rápido que $r_{min}$ , entonces podría haber un problema y la integral puede no tener límite 0. Sin embargo, esto no parece una situación común.

Eso parece realmente un buen argumento. Me gusta la idea de separar las corrientes entrantes y salientes al delimitar la integral de superficie, ya que creo que esto permite obtener mejores límites en los productos escalares. Estoy de acuerdo en que esto podría no ser una condición necesaria porque no explotamos completamente la posibilidad de cancelación entre las corrientes internas y externas en la integración.
Bueno, en realidad, ahora que lo pienso, ¿no podrías reemplazar el $|C_{in}| + |C_{out}|$ obligado por $\left|(|C_{in}| - |C_{out}|)\right|$ porque ya sabemos que tienen signos opuestos? Así que ahora podemos hacer que la integral vaya a cero incluso cuando $I_{in}/r_{min}$ no va a $0$ , mientras $I_{in}$ y $I_{out}$ están muy cerca uno del otro.
No lo creo, por el factor $1/r$ , las C son diferentes de $I$ 's; $C$ no son opuestos entre sí y no necesariamente tienen signos opuestos. Deben restringirse por separado.
creo que sabemos $C_{in}$ y $C_{out}$ tienen signos opuestos, dada su definición, porque el producto escalar $\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$ siempre es positivo para $C_{out}$ y negativo para $C_{in}$ .
Entonces sabemos que $C_{in} \leq 0$ y $C_{out} \geq 0$ . también sabemos $I_{in}/r_{max} \leq -C_{in} \leq I_{in}/r_{min}$ y $I_{out}/r_{max} \leq C_{out} \leq I_{out}/r_{min}$ . Entonces la integral de superficie está acotada por $C_{out} + C_{in} \leq ||C_{out}| - |C_{in}|| \leq \max(I_{out}/r_{min} - I_{in}/r_{max}, I_{out}/r_{max} - I_{in}/r_{min})$ .
Debido a la $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ condición, siempre deberíamos tener $I_{in} = I_{out} = I$ (para la misma superficie). Así que creo que podemos simplificar el límite anterior como $C_{out} + C_{in} \leq I*\left(1/r_{min} - 1/r_{max}\right)$ . Sí, ese límite no es tan bueno como pensé inicialmente, supongo. El $1/r_{max}$ parte puede ser arbitrariamente pequeña, por lo que generalmente no ayuda demasiado en comparación con solo $I/r_{min}$ .
Sin embargo, sospecho que podría existir un límite mejor, porque las superficies son cerradas y probablemente continuas, por lo que tenemos restricciones en la geometría posible. En particular, no puede tener solo corriente hacia adentro en $r_{min}$ y corriente hacia el exterior en $r_{max}$ entonces habrá una región de transición donde $r_{min} \lt r \lt r_{max}$ . Ni siquiera estoy seguro de ejemplos explícitos en los que la integral de superficie realmente diverja (o no vaya a $0$ ). Tal vez algo así como una densidad de corriente uniforme $\mathbf{J}(\mathbf{x}) = J_0\hat{\mathbf{z}}$ ? Pero también debemos asegurarnos de que la integral de volumen original converja.

Crio · Answer 3

Tengo pocos pensamientos en lugar de una respuesta. Tal vez ayude. Dado que su densidad actual es divergente, ¿tal vez sea una buena idea aplicar la descomposición de Helmholtz?

Para un campo vectorial 3d genérico y de buen comportamiento con $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{J}=0$ tenemos:

$\mathbf{J}\left(\mathbf{r}\right)=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{M}$

Para algún campo vectorial $\mathbf{M}$ , pero luego (usando el símbolo de Levi-Civita $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ para lidiar con el rizo):

$\int d^3 r' \mathbf{J}\left(\mathbf{r'}\right).\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\int d^3 r' \partial'_{\beta}M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\oint d^2 r' \hat{n}_{\beta} M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$

Dónde $\boldsymbol{\hat{n}}$ es la normal a la superficie del volumen sobre el que está integrando, y usé la simetría de Levi-Civita para deshacerme de la otra integral.

¿Esto ayudó? Bueno, todavía tenemos una integral de superficie, pero ahora estamos hablando de magnetización ( $\mathbf{M}$ ) que no tiene que desaparecer tan rápido para que la integral converja a cero. Además, puede repetir el mismo truco, de hecho, no se pierde generalidad al suponer que $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{M}=0$ . Me pregunto si puede construir una prueba iterativa en la que profundice cada vez más en las derivadas de la densidad de corriente que luego establezca que la integral inicial se puede hacer tan cerca de cero como desee.

¿Hay casos en los que ∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0\nabla\cdot\iiint\frac{\ mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0?

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