¿Las operaciones de simetría son necesariamente solo transformaciones en el espacio de configuración?

La simetría en la mecánica clásica es una transformación de coordenadas que no cambia la ecuación de movimiento, por ejemplo, el lagrangiano (en este enfoque debe usar el espacio de configuración) de partículas libres es:

$L=\frac{1}{2}mv^{2}$

aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange, tenemos:

$\frac{d}{dt}(mv^{i})=0$

si cambias las coordenadas moviendo el origen$x=x'+\delta$, dónde$\delta$es una constante, la ecuación de movimiento ahora es:

$\frac{d}{dt}(mv'^{i})=0$

se puede ver juntos expresión tienen la misma forma. Con el enfoque de Hamilton, las ecuaciones de Hamilton no cambian de forma, en este contexto es donde debes usar el espacio de fase. Una transformación canónica es una transformación de coordenadas definida en el espacio de fase que no cambia el soporte de Poisson.

En general, todo lo relacionado con las simetrías en la mecánica cuántica es cierto para la mecánica clásica, la diferencia es que 'las ecuaciones de movimiento' son más difíciles de resolver que la teoría clásica y el uso de grupos de Lie es 'más fácil'.

Creo que la respuesta que está buscando es que cualquier transformación del espacio de fase que deje estacionaria la acción se considera una simetría del sistema en cuestión. Por lo general, un sistema está completamente especificado por funciones que determinan rutas en el espacio de fase del sistema. Entonces, no hay una razón real para restringirse al espacio de configuración solo cuando se define qué es una simetría.

Por lo tanto, en principio, no está restringido a transformaciones de solo las coordenadas. Donde cualquier otra respuesta puede haberse referido solo a transformaciones del espacio de configuración, esto ciertamente sería una simetría, pero es posible que no capture todas las simetrías del sistema.

Por ejemplo, otro cartel ha dado el ejemplo de una partícula libre; este sistema ciertamente admite la simetría$q \rightarrow q + \textrm{const},$pero es claro que el sistema también admite la simetría$\dot{q} \rightarrow \dot{q} + \textrm{const}$.

En respuesta a sus puntos de seguimiento, una transformación canónica general (CT) es en esencia una reformulación de la dinámica del sistema. La única diferencia entre las transformaciones canónicas y las transformaciones del espacio de configuración es que en las primeras los momentos se tratan en pie de igualdad con las coordenadas. Pero no hay razón para llamar a tales transformaciones una simetría más que llamar a la transformación a coordenadas polares una simetría del sistema.

Sin embargo, la naturaleza generalizada de los CT significa que las transformaciones del sistema generadas por una simetría pueden expresarse como una transformación canónica, pero no se afirma que cada CT represente una simetría. Si realiza un CT, entonces vuelve a expresar el sistema en términos de nuevos$(Q^k,P_k)$, y la dinámica se rige por una nueva función$K(Q^k, P_k, t)$, que es el hamiltoniano en el espacio de fases transformado. Este "kamiltoniano" y el hamiltoniano, en general, se diferenciarán por una derivada total que se puede pensar que genera el CT. Solo si el hamiltoniano es invariante bajo la función generadora (infinitesimal) podemos decir que la función generadora es una constante del movimiento y que, por lo tanto, el sistema tiene una simetría correspondiente. Un CT general cambiará la forma del hamiltoniano en el nuevo espacio de fase, por lo que no puede entenderse como una simetría del sistema.

Goldstein ( Mecánica clásica ) cubre esto y más en detalle en el capítulo 9; Recomendaría darle una lectura si puedes.

Si se necesita una distinción entre las transformaciones del espacio de configuración que conservan las ecuaciones de movimiento y las simetrías del espacio de fase que no tienen una restricción obvia al espacio de configuración, se podrían usar los términos simetrías explícitas frente a simetrías ocultas .

Como referencia, la siguiente reseña:

• Frolov, VP, Krtouš, P. y Kubizňák, D. (2017). Agujeros negros, simetrías ocultas e integrabilidad completa . Living Reviews in Relativity, 20(1), 1-221, doi:10.1007/s41114-017-0009-9 .

hace esta distinción en este pasaje:

… Sin embargo, lo contrario no es cierto: no todas las simetrías del espacio de fase pueden reducirse fácilmente al espacio de configuración. Las simetrías que tienen la contrapartida directa en el espacio de configuración se denominarán simetrías explícitas , las que no se pueden reducir a la transformación del espacio de configuración se denominarán simetrías ocultas .

Por ejemplo, para las partículas que realizan un movimiento geodésico en un espacio-tiempo curvo, las simetrías continuas explícitas del espacio de configuración son transformaciones generadas por campos vectoriales Killing, estas son las isometrías del espacio-tiempo.

Matar tensores de rango$s \ge 2$proporcione ejemplos de simetrías ocultas de dicho sistema: un tensor de Killing$k^{a_1 a_2 … a_s}$corresponde a una integral de movimiento$K=k^{a_1 a_2 … a_s} p_{a_1} p_{a_2} … p_{a_s}$que es un monomio en componentes de momento$p_a$. Esta cantidad conservada genera una simetría del espacio de fases, pero su proyección en el espaciotiempo depende explícitamente de los momentos de las partículas, por lo que no se trata de una transformación espaciotemporal pura.